¿Por qué el set $\{1,3,5,7... ; 2,4,6,8...\}$ calificar como bien ordenada? ¿Cómo explicar esta notación?

Question

El conjunto {Números naturales imperiales mayores que 0 } U {números naturales pares}

es decir, el conjunto

$ \bigcup \{ \{1,3,5,7...\}, \{2,4,6,8...\} \}$

también escrito de forma extraña

$\{1,3,5,7... ; 2,4,6,8...\}$ .

se da a menudo como ejemplo de un conjunto bien ordenado (un conjunto tal que para todo subconjunto hay un primer elemento).

Tengo algunos problemas con este ejemplo.

(1) Primero, ¿qué relación ordena este conjunto? ¿Podría definirse esta relación explícitamente ? ¿Es esta relación algo análoga al orden lexigráfico? Así que no entiendo cómo este conjunto puede ser un ordenó y el juego.

(2) Segundo, no entiendo cómo es bien - ordenado. Para estar bien ordenados, cada subconjunto debe tener un primer elemento. Pero aparentemente, el conjunto $\{7,2\}$ es un subconjunto de mi conjunto. ¿Cuál es el primer elemento de $\{7,2\}$ ?

Answer 1

Los conjuntos no tienen un "orden inherente". Pueden tener un orden natural (como $ \Bbb N$ o $ \Bbb R$ tienen un orden natural que consideramos de alguna manera "parte del conjunto"), pero no tienen un orden inherente.

Escribiendo $\{1,3,5, \dots ;0,2,4, \dots\ }$ es un terrible abuso de la notación.

Pero es, de hecho, un buen ordenamiento de $ \Bbb N$ que es no su ordenamiento natural (que también es un buen ordenamiento). He aquí una definición explícita:

$$m \prec n \iff \begin {cases}m \text { is odd and }n \text { is even}, & \text { or} \\m\equiv n \pmod 2 \text { and }m<n. \end {cases}$$

Para verlo es un buen ordenamiento, note que cada uno de los subconjuntos, pares y probabilidades, están ordenados en la forma natural que hace que parte de un orden bien ordenado, y por lo tanto, dado un conjunto no vacío, o bien tiene un número impar más pequeño o es un subconjunto de los números pares.

Answer 2

Como se ha sugerido, un conjunto bien ordenado es aquel en el que cada subconjunto tiene un primer elemento. Los números naturales $ \mathbb {N}$ con su relación habitual $ \le $ forman un ejemplo prototípico:

$$0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < \cdots $$

sin embargo lo que creo que su ejemplo, escrito como

$$\{ 1, 3, 5, 7, \cdots ; 2, 4, 6, 8, \cdots \}$$

es supuesto para indicar (¿de qué libro u otra referencia es esto?) es un conjunto bien ordenado en el que el orden es así:

$$1 < 3 < 5 < 7 < \cdots < 2 < 4 < 6 < 8 < \cdots $$

En otras palabras, es todo el impar números ordenados de la manera habitual, y luego después de que TODOS ellos todos los números pares, de nuevo, ordenados de la manera habitual. El truco es que cada número impar es "menos" que cada número par en este nuevo orden, y por lo tanto muestra un buen orden que es diferente de el orden habitual de los números naturales. Se trata de mostrar que hay más formas que un buen orden puede tomar de lo que uno podría esperar en un principio. En particular, es un orden de pozo que tiene un "infinito interno" en el que hay un infinito número de elementos entre cualquier número impar y cualquier número par.

En cuanto a la cuestión del elemento inicial del subconjunto $\{7, 2\}$ la respuesta es simple: mirando la secuencia como se muestra arriba y donde 7 y 2 caen en ella, se ve a simple vista que es 7 (no 2). En términos de la definición matemática, ya que 7 es impar, y 2 es par, 2 debe ser "mayor" que cada número de impar, por lo tanto también mayor que 7 y 7 es el elemento inicial.