Cómo escribir $[(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n + (2+\sqrt{3})^{n+1} + (2-\sqrt{3})^{n+1}]/6$ a del formulario $a^2 + 2 b^2$ ($a, b \in \mathbb{N}$).

Question

Sabemos que $(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$ es un número entero (Ver aquí).

Sin embargo, queremos escribir la fórmula \begin{align} &\frac{3+\sqrt{3}}{6} (2+\sqrt{3})^n + \frac{3-\sqrt{3}}{6} (2-\sqrt{3})^n\\ &=\frac{1}{6} \left[(2+\sqrt{3})^{n+1} + (2-\sqrt{3})^{n+1} + (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\right] \end{align} a la forma $$a^2 + 2\,b^2,\ (a, b \in \mathbb{N}).$$

Cómo?

Answer 1

Deje que $f(n)= \dfrac{3+\sqrt{3}}{6} (2+\sqrt{3})^n + \dfrac{3-\sqrt{3}}{6} (2-\sqrt{3})^n$ and $g(n)=\dfrac{\sqrt3} 6(2+\sqrt3)^n-\dfrac{\sqrt3}6(2-\sqrt3)^n$.

Puede mostrar a $f(n)^2+2\times g(n)^2=f(2n)$ e $f(n)^2+2\times g(n+1)^2=f(2n+1)?$

Answer 2

Llame a su fórmula $f(n)$. Desde $2\pm\sqrt{3}$ son las raíces de $x^2-4x+1$, es fácil mostrar que $f(n)$ está determinado por $f(0)=1$, $f(1)=3$ y la relación recursiva $f(n+1)=4f(n)-f(n-1)$.

Después de mirar @J. W. Tanner comentario, me enteré de que en realidad tenemos \begin{align*} f(2n)&=f(n)^2+2\left(\sum_{0\leq k\leq n-1}f(k)\right)^2\\ f(2n+1)&=f(n)^2+2\left(\sum_{0\leq k\leq n}f(k)\right)^2 \end{align*} Ahora, yo no sé realmente qué difícil es demostrarlo mediante la inducción, pero es un patrón interesante.