Considere la posibilidad de un polinomio real $P(x, y)$ en dos variables. Se llama invariante con respecto a la rotación por un ángulo de $\alpha$si $$ P (x \cos(\alpha) − y \sin(\alpha), x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha)) = P (x, y) $$ para todos los verdaderos $x$ e $y$. ¿Cómo podemos encontrar la dimensión de la real espacio vectorial formado por todos los polinomios en dos de las variables del total de grado no mayor que $d$ invariante con respecto a la rotación por $2\pi/n$?
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La primera revisión de un $n \geq 0$, y definir la rotación mapa $$ R: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad R = \begin{pmatrix} \cos(2 \pi / n) & -\sin(2 \pi / n) \\ \sin(2 \pi / n) & \cos(2 \pi / n) \end{pmatrix}$$ Ahora, indican que el espacio de dos variables reales de polinomios por $\mathbb{R}[x, y]$, y el pensamiento de un polinomio $P \in \mathbb{R}[x, y]$ como una función de $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, definir lineal mapa de $L$ a ser de precomposición con la rotación $R$: $$ L: \mathbb{R}[x, y] \to \mathbb{R}[x, y], \quad LP = P \circ R$$ Un invariante polinomio $Q$ es, precisamente, uno de satisfacciones $LQ = Q$, es decir, un vector propio de a$L$ con autovalor $1$. Así que la pregunta es, esencialmente, para examinar la $1$-subespacio propio de $L$.
Ahora, vamos a $\mathbb{R}[x, y]_d$ denota el subespacio de todas las homogénea de grado-$d$ polinomios, por ejemplo, $\mathbb{R}[x, y]_3 = \operatorname{span}\{x^3, x^2y, xy^2, y^3\}$. Como notado en los comentarios, tenemos $L(\mathbb{R}[x, y]_d) \subseteq \mathbb{R}[x, y]_d$, lo que significa que podemos examinar lo $L$ lo hace en cada uno de los grados-$d$ subespacio de forma individual. Denotar esta restringido de operador por $L_d: \mathbb{R}[x, y]_d \to \mathbb{R}[x, y]_d$.
¿Cuáles son los autovalores de a$L_d$? Si $\lambda, \mu$ denotar los dos autovalores de a$R$, entonces los autovalores de a$L_d$ debe ser, precisamente, $\lambda^d, \lambda^{d-1} \mu, \ldots, \lambda \mu^{d-1}, \mu^d$. (Breve justificación: si vamos a los números complejos, $R$ diagonalises, con algunos vectores propios $u$, $v$ correspondiente a $ \lambda$ and $\mu$. After changing coordinates from $(x, y)$ to $(u, v)$, we have $L$ acting by $L(u^v^b) = \lambda^\mu^b u^v^b$, and so on). Of course, we know exactly what the eigenvalues of $R$ are: they are $\omega$ and $\omega^{-1}$, where $\omega = \exp(2 \pi i / n)$ is a primitive $n$th root of unity. Hence the eigenvalues of $L_d$ are $\omega^{d}, \omega^{-d+2}, \ldots, \omega^{d-2}, \omega^d$. Then dimension of the $1$-eigenspace of $L_d$ is the number of these eigenvalues which are equal to $1$, and $\omega^i = 1$ precisely when $n$ divides $i$.
Así que finalmente, para responder a la pregunta original, ¿cuál es la dimensión del subespacio de los polinomios de grado en la mayoría de las $d$ que son invariantes bajo $L$? Podemos tabular los autovalores de los operadores de $L_0, L_1, \ldots, L_d$, donde la primera fila es el autovalor de a$L_0$, el segundo son los autovalores de a$L_1$, y así sucesivamente: $$ \begin{matrix} &&&&&\omega^0&&&&& \\ &&&&\omega^{-1}&&\omega^1&&&& \\ &&&\omega^{-2}&&\omega^0&&\omega^2&&& \\ &&\omega^{-3}&&\omega^{-1}&&\omega^1&&\omega^{3}&& \\ &\omega^{-4}&&\omega^{-2}&&\omega^0&&\omega^2&&\omega^4& \\ \omega^{-5}&&\omega^{-3}&&\omega^{-1}&&\omega^1&&\omega^{3}&&\omega^5 \\ \end{de la matriz}$$ Así, por $n = 3$ e $d \leq 5$, la respuesta será el número de $\omega^i$ en la tabla anterior donde se $3$ divide $i$. Hay 7 de ellos: $\omega^0$ para $L_0, L_2, L_4$, entonces el $\omega^3$ e $\omega^{-3}$ por tanto $L_3$ e $L_5$.
También es interesante señalar algunas de las funciones invariantes en la tabla. El $L_0$ entrada siempre se refiere a una función constante. Después de que la columna del medio podría ser identificado con las funciones $x^2 + y^2, x^4 + 2x^2 y^2 + y^4$ y así sucesivamente, que son todos los rotacionalmente simétricas, ya que son potencias de la función length $\sqrt{x^2 + y^2}$. El $\omega^3, \omega^{-3}$ funciones en el $L_3$ fila podría significar la tercera-de-una-vez simétrica funciones de $x^3 + 3xy^2$ e $-3y^2 x + y^3$.
Abordar algunas de las preguntas de los comentarios:
Es suficiente para comprobar sólo las multiplicidades algebraica de los valores propios de a$L_d$. Esto es debido a que $L_d$ es una transformación lineal de un número finito-dimensional espacio vectorial finito de orden ($L_d^n = 1$), por lo que debe ser un semisimple operador. (El polinomio mínimo de a$L_d$ debe dividir $x^n - 1$, pero $x^n - 1$ se divide en distintas lineal y cuadrática factores sobre los números reales, por lo tanto el polinomio mínimo es $x^n - 1$.) Semisimple los operadores siempre han geométrica y algebraica de multiplicidades de la coincidencia. Equivalentemente, si usted prefiere matrices complejas, cuando se cambia a la de los números complejos, a continuación, $L_d$ es diagonalisable.
En segundo lugar, ¿cómo encontrar las funciones invariantes? Permite seguir a través del cambio de coordenadas a la que me referí, pero nunca funcionó. Retrocedamos un poco: tenemos una matriz de rotación $$ R = \begin{pmatrix} \cos(2 \pi / n) & -\sin(2 \pi / n) \\ \sin(2 \pi / n) & \cos(2 \pi / n) \end{pmatrix}$$ actuando en funciones de $x = \begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}$ e $y = \begin{pmatrix} 0 & 1\end{pmatrix}$. Podemos ver que $$ \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} \omega & i\omega \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} \omega^{-1} & i\omega^{-1} \end{pmatrix}$$ y, por tanto, $u = \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} = x + iy$ e $v = \begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} = x-iy$ son complejos vectores propios de a$R$ con autovalores $\omega$ e $\omega^{-1}$.
Hallazgo de la monomials $u^a v^b$ son invariantes es fácil, ya que $L(u^a v^b) = \omega^{a - b} u^a v^b$, y tan sólo necesitamos $a - b$ a ser divisible por $n$. Continuando con el $n = 3$ ejemplo, este será el dos monomials $u^3, v^3$. No podemos inmediato expandir $u^3$ e $v^3$ en términos de $(x+iy)^3$ e $(x - iy)^3$, ya que este tendría los números imaginarios colgar alrededor. En su lugar, ya que $u$ e $v$ son de este tipo, como complejos conjugados, podemos "tomar una parte real" $$ \frac{u^3 + v^3}{2} = \frac{(x + iy)^3 + (x - iy)^3}{2} = x^3 - x y^2$$ y "tomar una parte imaginaria" $$ \frac{u^3 - v^3}{2i} = \frac{(x + iy)^3 - (x - iy)^3}{2i} = 3x^2 y - y^3$$ para recuperar los dos linealmente independientes real simétrica polinomios.
Mike Earnest
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Ayuda brevemente paso en espacio complejo, donde la rotación por $2\pi/n$ corresponde a la multiplicación por $\omega=e^{i2\pi/n}$. Deje $z=x+iy$, con el conjugado $\newcommand{\z}{{\overline z}}\z=x-iy$. Podemos escribir $P(x,y)$ como un polinomio en $z,\z$, se $Q(z,\z)$. A continuación, $Q(\omega z,\omega^{-1}\z)$ corresponde a la rotación de $P$ por $2\pi/n$. Si escribimos $$ Q(z,\z)=\sum_{i,j\ge 0,i+j\le n}a_{i,j}\;z^i\,\z^j, $$ entonces la rotación está dada por $$ Q(\omega \,z, \omega^{-1}\,\z)=\sum_{i,j\ge 0,i+j\le n}a_{i,j}\omega^{i-j}\;z^i\,\z^j, $$ Ahora está claro que para que estas dos expresiones iguales, tenemos que tener $a_{i,j}=0$ siempre $i-j$ no es un múltiplo de a$n$. Por el otro, de la monomials de la forma $$ z^m\; \z^{\;(m kn)} $$ son la rotación de todos los idiomas, y una base para la rotación de polinomios invariantes. Por ejemplo, podemos tener siempre a$k=0$, en cuyo caso el polinomio es $z^m \z^{m}=(x^2+y^2)^m$. Para distinto de cero $k$, estos serán por lo general complejas de polinomios, y queremos de verdad. Este es fijado por el emparejamiento de la monomials en el conjugado de a pares, y un promedio de cancelar las piezas imaginarias, o la cancelación de las partes reales y dividiendo por $i$. El resultado es que la base de los polinomios son todos de la forma $$ (x^2+y^2)^m\cdot \frac{(x+iy)^{ek}+(x-iy)^{ek}}{2},\quad m,k\ge 0,2 m+kn\le d\qquad\\ (x^2+y^2)^m\cdot \frac{(x+iy)^{ek}-(x-iy)^{ek}}{2i},\quad m\ge 0,k\ge 1,2 m+kn\le d. $$ Estos parecen ser complejas de polinomios en $x$ e $y$, pero todos los números complejos se anulan. Usted puede encontrar las dimensiones contando el número de valores integrales de $m$ e $k$ que satisfacen las desigualdades. Usted puede conseguir probablemente algunos desordenado forma cerrada que implican piso funciones.
