Computando la intersección de conjuntos infinitos.

Question

Necesito ayuda en la investigación de mis respuestas a la pregunta #6 de la serie de libros CRM de MAA: Exploratory Examples for Real Analysis, por Joanne E. Snow, Kirk E. Weller.

Considere las siguientes dos colecciones de conjuntos:
$$\{I_n = [0, \frac1n ] \ : n \in \mathbb {N} \}$$ $$\{J_n = (0, \frac1n ) \ : n \in \mathbb {N} \}$$

a) Computación $ \bigcap_ {n=1}^{ \infty } I_n$ .
b) Computación $ \bigcap_ {n=1}^{ \infty } J_n$ .
c) ¿Puede explicar las diferencias entre las dos respuestas utilizando cualquiera de los términos introducidos en este laboratorio ( en el capítulo 1 )?

(a) $I_1 = [0,1], I_2 = [0, \frac12 ], I_3 = [0, \frac13 ], I_4 = [0, \frac14 ], \cdots , I_{ \infty } = [0,0] = 0$

$ \bigcap_ {n=1}^{ \infty } I_n = [0,1] \cap [0, \frac12 ] \cap [0, \frac13 ] \cap [0, \frac14 ] \cdots \cap 0$

Es necesario encontrar la intersección de los puntos reales en todos los intervalos dados, lo que lleva finalmente a un único punto $0$ que es lo mismo que $I_{ \infty }$ .

(b) $J_1 = (0,1), J_2 = (0, \frac12 ), J_3 = (0, \frac13 ), J_4 = (0, \frac14 ), \cdots , J_{ \infty } = (0,0)= \emptyset $
El último conjunto está vacío ( $ \emptyset $ ), como .

$ \bigcap_ {n=1}^{ \infty } J_n = (0,1) \cap (0, \frac12 ) \cap (0, \frac13 ) \cap (0, \frac14 ) \cdots \cap \emptyset $
$ \bigcap_ {n=1}^{ \infty } J_n = \emptyset $

En todos los conjuntos no nulos, no se incluyen los límites de los intervalos.
La intersección de los conjuntos es nula, ya que no hay nada en común de ningún conjunto con $ \emptyset $ .

c) No se ha podido encontrar ningún término en el capítulo 1 del libro, que describa algo relacionado con la intersección de conjuntos vacíos con otros conjuntos que lleven a un conjunto nulo de nuevo. El capítulo describe supremo, máximo, límite superior, mínimo, mínimo, límite inferior.
Esto puede ser comprobado por el enlace de Google-book para lo mismo.

Duda:
1. ¿Estoy en lo cierto acerca de tomar el intervalo $I_ \infty $ que representa un único punto?
2. De manera similar, sobre $J_ \infty $ que es un conjunto vacío.

Answer 1

No me gusta $I_ \infty $ o $J_ \infty $ . No es que su respuesta final esté equivocada, pero estos "últimos conjuntos" de la colección no están definidos en la pregunta. Los has inventado usando tu intuición. Tu intuición resulta ser consistente con la pregunta, pero puede que no tengas tanta suerte la próxima vez.

(Como ejemplo de cuando su intuición podría fallarle, note que $ \bigcap_ {i=1}^ \infty (- \frac {1}{n}, \frac {1}{n}) \neq (0, 0) = \emptyset $ .)

En lugar de eso, usa tu intuición para conjeturar que $ \bigcap_ {n=1}^ \infty I_n = \{0\}$ . Para probarlo, hacemos una prueba clásica de subconjunto. Empieza suponiendo $x \in \{0\}$ es decir. $x = 0$ . Entonces, demuestre que $x \in \bigcap_ {n=1}^ \infty I_n$ . Por definición de intersección, esto equivale a mostrar $x \in I_n$ para todos $n$ lo cual es cierto, ya que $0 \le 0 \le \frac {1}{n}$ .

A la inversa, supongamos $x \in \bigcap_ {n=1}^ \infty I_n$ que es decir que $x \in I_n$ para todos $n$ y, por lo tanto, más allá de eso $0 \le x \le \frac {1}{n}$ . Si consideramos la secuencia constante $x, x, x, \ldots $ entonces esto significa que esta secuencia constante está apretada entre $0$ y $ \frac {1}{n} \to 0$ por lo que la secuencia constante tiende a $0$ . Pero, la secuencia constante tiende a $x$ también, por lo tanto por la unicidad de los límites, $x = 0$ . Así que.., $ \bigcap_ {n=1}^ \infty I_n \subseteq \{0\}$ .

Poniendo estos dos argumentos juntos, hemos demostrado que $ \bigcap_ {n=1}^ \infty I_n = \{0\}$ .

Intenta algo similar con el $J_i$ s.