Deje $X$ ser conectado a un Esquema de dimensión $0$. Es $X$ necesariamente afín ?
Sé que esto es verdad si $X$ es Noetherian (incluso sin asumiendo $X$ está conectado). Pero, ¿qué sucede si $X$ no es Noetherian ?
Respuesta
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Aquí es un contraejemplo. Deje $C$ ser el conjunto de Cantor (o, cualquier Piedra espacio sin puntos aislados). Para cada par de puntos distintos $x,y\in C$, vamos a $D_{xy}$ ser el cociente de $C$ por la relación de equivalencia que identifica a $x$ e $y$. Deje $U_{xy}=C\setminus\{x,y\}$ y deje $V_{xy}$ ser la imagen de $U_{xy}$ en $D_{xy}$. Tenga en cuenta que el cociente mapa de $C\to D_{xy}$ restringe a un homeomorphism $U_{xy}\to V_{xy}$.
Ahora fijar un campo $k$, vamos a $A$ ser el anillo de localmente constante de las funciones de $C\to k$, y deje $B_{xy}$ ser el anillo de localmente constante de las funciones de $D_{xy}\to k$. Hay una natural homeomorphism $\operatorname{Spec} A\cong C$ el envío de un punto de $A$ a el ideal de las funciones que se desvanecen, y de manera similar a $\operatorname{Spec} B_{xy}\cong D_{xy}$. El cociente mapa de $C\to D_{xy}$ induce una de morfismos $\operatorname{Spec} A\to \operatorname{Spec} B_{xy}$ que restringe a un isomorfismo de los esquemas de entre $U_{xy}$ e $V_{xy}$, considerado como abrir subschemes de $\operatorname{Spec} A$ e $\operatorname{Spec} B_{xy}$. Ahora vamos a $X$ ser el esquema obtenido por pegando $\operatorname{Spec} A$ e $\operatorname{Spec} B_{xy}$ para todos los pares de $x,y$ a lo largo de estos isomorphisms entre $U_{xy}$ e $V_{xy}$. Vamos a identificar la copia de $\operatorname{Spec} A$ en $X$ con $C$ y la copia de $\operatorname{Spec} B_{xy}$ en $X$ con $D_{xy}$.
(Si tienes problemas para visualizar este, es análogo a la "línea con el doble de origen", excepto que en lugar de "duplicación" de un único punto de $C$, hemos tomado cada par de puntos en $C$ y "duplicado" de ellos, pero se pegan juntos su duplicado versiones.)
Está claro que $X$ es $0$-dimensional, ya que se obtiene por pegando $0$-dimensiones afín esquemas. Claramente $X$ no es afín (por ejemplo, no es quasicompact ya que se obtiene por pegando infinitamente muchos afín abierto, todos de los cuales son irredundante). Pero afirman $X$ está conectado. En efecto, supongamos $X=G\cup H$ es un trivial de la partición de $X$ en bloques abiertos. Tenga en cuenta que $C$ es denso en $X$ (desde $V_{xy}$ es denso en $D_{xy}$ y se ha identificado con $U_{xy}\subset C$), por lo $G\cap C$ e $H\cap C$ son tanto vacío. Deje $x\in G\cap C$ e $y\in H\cap C$. Desde $C$ no tiene puntos aislados y $G$ e $H$ están abiertas, $x$ no está aislado en $G\cap C$ e $y$ no está aislado en $H\cap C$. Pero esto significa $x$ es en el cierre de $G\cap U_{xy}$ e $y$ es en el cierre de $G\cap U_{xy}$. De ello se deduce que la imagen común de $x$ e $y$ es en el cierre de ambos $G\cap D_{xy}$ e $H\cap D_{xy}$, y es así en tanto $G$ e $H$ , ya que están cerrados. Esto es una contradicción ya que el $G$ e $H$ eran distintos.
Si esta construcción parece un poco ridículo, tenga en cuenta que cualquier afín $0$-dimensional esquema es totalmente desconectada (a ver Si $R$ es cero-dimensional, a continuación, $\mathrm{Spec}(R)$ es Hausdorff y totalmente desconectado). Así, para obtener un conectada $0$-dimensional esquema con más de $1$ punto, usted tiene que de alguna manera pegue un montón de totalmente desconectados de los espacios a lo largo de open ajusta para obtener un espacio total que está conectado. La idea de la construcción de arriba es para iniciar con el conjunto de Cantor y, a continuación, pegamento en las piezas que matar a todos los abiertos particiones $C=G\cup H$ haciendo los cierres de $G$ e $H$ se cruzan en las piezas que fueron pegados. Tenga en cuenta que la no-Hausdorffness de la construcción es crucial, ya que si nuestro plan se Hausdorff, entonces todos los clopen conjuntos en cualquier afín a abrir permanecerían cerrados en todo el espacio por la compacidad.
