Cómo probar el límite de existir?

Question

Vamos a:

$\displaystyle f=\int_V \dfrac{x-x'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}\ dV'$

donde $V'$ es un volumen finito en el espacio

$\mathbf{r}=(x,y,z)$ son las coordenadas de todo el espacio

$\mathbf{r'}=(x',y',z')$ son las coordenadas de $V'$

$|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|=[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{1/2}$

Cómo probar que:

$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}$ existen

$\text{ }$

YO:

No estoy seguro de si este método de trabajo. Si no por favor sugerir otro método para llegar a mi meta.

\begin{align} &\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}\\ =&\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\displaystyle\int_{V'} \dfrac{(x+\Delta x)-x'}{|\mathbf{r}(x+\Delta x,y,z)-\mathbf{r'}|^3}\ dV' - \int_{V'} \dfrac{x-x'}{|\mathbf{r}(x,y,z)-\mathbf{r'}|^3}\ dV'}{\Delta x}\\ =&\lim\limits_{\Delta x \to 0}\displaystyle\int_{V'} \dfrac{\left( \dfrac{(x+\Delta x)-x'}{|\mathbf{r}(x+\Delta x,y,z)-\mathbf{r'}|^3} -\dfrac{x-x'}{|\mathbf{r}(x,y,z)-\mathbf{r'}|^3} \right)}{\Delta x}dV' \end{align}

Ahora, si tan sólo pudiera tomar el límite interior de la integral (con respecto a $V′$),puedo proceder a demostrar que el límite existe.

Si no podemos hacer que este método no funciona, por favor sugerir otro método para demostrar que el límite existe.

Answer 1

Suponga que $C$ es $3$-dimensiones del cuerpo con un suave límites y ${\rm vol}\ C<\infty$. Define $f(\textbf{r}) =\int_C\ \frac{x-x'}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|^3}\ d{\rm vol}\ (\textbf{r}' ) $ Demostrar que $f$ es finito.

Prueba : $\int_{B_\epsilon (0)}\ \frac{1}{|{\bf r}|^2} \ d{\rm vol}\ ({\bf r}) \leq C\epsilon$ for some $l>0$ and note that $ \frac{|x-x'|}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|^3}\leq \frac{1}{| \textbf{r}-\textbf{r}'|^2}$

Así $$ |f( \textbf{r} )| \leq \int_{B_\epsilon ({\bf r} )}\ \frac{|x-x'|}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|^3}\ d{\rm vol}\ (\textbf{r}') +\int_{C-B_\epsilon(\textbf{r}) }\ \frac{1}{|\textbf{r}- \textbf{r}'|^2}\ d{\rm vol}\ (\textbf{r} ') $$

$$ \leq l\epsilon +\int_{C-B_\epsilon(\textbf{r}) }\ \frac{1}{\epsilon^2} \ d{\rm vol}\ (\textbf{r} ') \leq l\epsilon + \frac{1}{\epsilon^2}{\rm vol}\ C $$