Hay un nombre para el conjunto definido por la suma de Minkowski de círculos en planos ortogonales?

Question

Recientemente, empecé a pensar sobre el conjunto de puntos definidos por la suma de Minkowski de 1D círculos en planos ortogonales. La razón de esto es para extender el conocido resultado de que 1D lineal/osciladores armónicos son equivalentes a circular uniforme de los movimientos en el plano 2D, proyectada en una línea. La generalización de este, es posible pensar en la n-dimensional osciladores armónicos como en las proyecciones de la suma de uniforme movimientos de n círculos en n planos ortogonales en un (n+1)-dimensional espacio Euclidiano con un eje vertical. Para ilustrar esta construcción en el n=2 caso, he creado un GIF animado que muestra dos círculos de unidad centrada en el origen de los x-z y y-z de los aviones:

En esta animación, la vista se gira para mostrar la misma trayectoria desde dos puntos de vista distintos. El segundo punto de vista visualmente se muestra la proyección lineal en el gris plano. Cuadrado morado, se muestra la suma de las proyecciones de las bolas rojas y azules en este (x-y) del plano. (No es un azar desplazamiento de fase entre las bolas rojas y azules.) Más imágenes y animaciones de este tipo están publicados en mi cuenta de Twitter.

La alineación de la bola gris y el morado de la plaza en la proyección de la vista indica visualmente que en 2D oscilador lineal de las mociones (cuadrado morado) son indistinguibles partir de las proyecciones de movimientos en la superficie 3D (bola gris). Este es un ejemplo de la propiedad de que la suma de las proyecciones lineales de los vectores son equivalentes a las proyecciones lineales de la suma de vectores, por la linealidad de la proyección del operador. Este ejemplo particular de esta propiedad simple puede ser relevante debido a la importancia de la lineal/osciladores armónicos en la física matemática.

Por extensión, n-dimensional osciladores puede ser pensado como proyecciones de sumas de uniforme movimientos de n círculos en n planos ortogonales en (n+1) dimensiones. Aunque círculos de unidad idéntica y las velocidades para el uniforme de movimientos circulares que se muestra en esta animación, el ejemplo podría ser fácilmente generalizado a los círculos con diferentes radios y puntos de movimiento con diferentes velocidades fijas.

Mis preguntas son:

1. ¿El conjunto de puntos definidos por la suma de Minkowski de este tipo de arreglo de n círculos en (n+1)-dimensiones tiene un nombre?
2. Si es así, ¿hay alguna referencia o discusiones acerca de sus propiedades y la posible importancia para la física?

En aras de la claridad, a continuación se presenta código de Matlab para calcular una nube de puntos 3D que representan una muestra finita de puntos en este juego, usando uniforme de las muestras de los dos círculos:

function circle = circle_sum( Npoint )

if nargin < 1 || isempty( Npoint ) 
  Npoint = 4 * 1e3 ; % default number of points per circle
end

circle.x = zeros( Npoint, 3 ) ;
circle.y = zeros( Npoint, 3 ) ;

for kt = 1 : Npoint % generate the 3D coordinates of two 1D circles in orthogonal planes

  tk    = 2 * pi * (kt - 1) / Npoint ; % circle position parameter
  costk = cos( tk ) ; % projection onto the x-y plane
  sintk = sin( tk ) ; % vertical coordinates

  circle.x( kt, : ) = [ costk 0 sintk ] ; % point on circle in the x-z plane 
  circle.y( kt, : ) = [ 0 costk sintk ] ; % point on circle in the y-z plane 

end

circle.sum = zeros( Npoint, Npoint, 3 ) ;

for ks = 1 : Npoint  % points on the Minkowski sum of the circles
  for kt = 1 : Npoint
    circle.sum( kt, ks, : ) = circle.x( ks, : ) + circle.y( kt, : ) ;
  end
end

También, aquí es algunas código de Matlab para graficar esta superficie de su forma paramétrica:

syms s t
x = cos(s) ; y = cos(t) ; z = sin(s) + sin(t) ;
fsurf(x, y, z, [0 2*pi 0 2*pi])
axis square
xlim([-2 2]), ylim([-2 2])
camlight
figSize = 480 ;
az = -35 ;
el = 15 ;
view( az, el ) ;
set( gcf, 'position', [10 10 figSize figSize] )
set( gca, 'xtick', [], 'ytick', [], 'ztick', [] )

La imagen resultante:

Answer 1

La suma de Minkowski de estos $2$ círculos puede ser descrito analíticamente como la suma :

$$\begin{pmatrix}\cos(a)\\\sin(a)\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\sin(b)\\\cos(b)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x=\cos(a)\\y=\sin(a)+\sin(b)\\z=\cos(b)\end{pmatrix}$$

where $a,b$ take all values in $[0,2\pi]$.

We can transform this parametric equation into a cartesian equation

$$x^2+y^2+z^2=2+2 \sin(a) \sin(b)$$

$$x^2+y^2+z^2-2 = \pm 2\sqrt{1-\cos^2(a)}\sqrt{1-\cos^2(b)}$$

$$x^2+y^2+z^2-2 = \pm 2\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-z^2}$$

yielding finally the equivalent quartic equation :

$$(x^2+y^2+z^2-2)^2=4(1-x^2)(1-z^2)$$

Expanded :

$$x^4 + y^4 + z^4 + 2(x^2y^2 - x^2z^2 + y^2z^2) - 4y^2 = 0.$$

Aquí es un programa de Matlab que se lleva a beneficio de esta ecuación implícita utilizando el poderoso "isosuperficie" de la función (véase la figura de abajo, de curso similar a la tuya) :

clear all;close all;axis equal off
set(gcf,'color','w');a=1;b=2;axis([-a,a,-a,a,-b,b]);
I=-a:0.02:a;J=-b:0.02:b;[x,y,z]=meshgrid(I,I,J);
X=x.^2;Y=y.^2;Z=z.^2;
e=X.^2+Y.^2+Z.^2+2*X.*Y-2*X.*Z+2*Y.*Z-4*Y;
[faces,verts,colors] = isosurface(x,y,z,e,0,z);
   patch('Vertices',verts,'Faces',faces,'FaceVertexCData',colors,'FaceColor','interp','EdgeColor','none');
alpha(0.2);
view([130,30]);