¿Finitud de la expectativa de $X$ implican $X$ es finito, casi con toda seguridad?

Question

Formalmente, deje $\left(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}\right)$ ser una probabilidad triple. Deje $X$ ser una variable aleatoria no negativa tal que $\mathbb{E} \left(X\right) < \infty$, entonces es cierto que $\mathbb{P} \left(X < \infty \right) = 1$? Es esto algo trivial? Yo no sé cómo empezar la prueba

Answer 1

Sí.

$$\mathbb{E}(X)=\int_\Omega X \, d\mathbb{P}\geq \int_{X^{-1}(\infty)} X \, d\mathbb{P}\geq \int_{X^{-1}(\infty)} t \, d\mathbb{P}=t\mathbb{P}(X=\infty)$$ para cada $t\in\mathbb{R}^+.$

Si $\mathbb{P}(X=\infty)>0$, y luego tomar las $t\rightarrow \infty$ muestra $\mathbb{E}(X)=\infty$.

Answer 2

Similar a Sean G respuesta:

Markov en la desigualdad implica $$t P(X \ge t) \le E[X] < \infty$$ para cualquier $t \ge 0$. Como $t \to \infty$, la izquierda sigue siendo finito, así que debemos tener $$0 = \lim_{t \to \infty} P(X \ge t) = P(X = \infty).$$

Answer 3

Mirada alternativa (de acuerdo con el comentario de Kavi).

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Formalmente si $X$ es un no-negativo de la variable aleatoria, a continuación, $\{0\leq X<\infty\}=\Omega$ , de modo que $P(X<\infty)=1$ es inmediata.

Si $X$ es una función medible $\Omega\to[0,+\infty]$ entonces $X\geq X\mathbf1_{X=\infty}$ por lo que: $$\mathbb EX\geq\mathbb EX\mathbf1_{X=+\infty}=+\infty\cdot\mathbb P(X=+\infty)\tag1$$Here $[0,\infty]$ is equipped with a multiplication $\cdot$ determinado por:

• $x\cdot y=x\times y$ si $x,y<+\infty$.
• $x\cdot y=0$ si $x=0$ o $y=0$.
• $x\cdot y=+\infty$ lo contrario.

Por lo $(1)$ nos dice que $EX<\infty$ sólo puede ser verdad si $\mathbb P(X=+\infty)=0$ o, equivalentemente, $\mathbb P(X<1)=1$.

Las respuestas de Sean y angryavian en realidad asegurar y confirmar que esta multiplicación funciona bien.