¿Por qué la serie armónica diverge pero la serie p-armónica converge?

Question

Me cuesta entender intuitivamente por qué la serie armónica diverge pero la serie p-armónica converge. Sé que hay métodos y aplicaciones para demostrar la convergencia, pero sólo me cuesta entender intuitivamente por qué lo es. Sé que nunca debo confiar en mi intuición, pero esto me cuesta entenderlo. En ambos casos, los términos de la serie son cada vez más pequeños, por lo tanto se acercan a cero, pero ambos dan lugar a respuestas diferentes. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots = \text{diverges}$$ $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\text{converges}$$

Answer 1

En primer lugar, siempre hay que usar la intuición. Si ves que tu intuición era correcta, sonríe. Si descubres que tu intuición era errónea, utiliza la experiencia para afinar tu intuición.

Espero estar interpretando correctamente su pregunta - aquí va. Como no te interesa ninguna de las pruebas, me centraré en la intuición. Ahora, vamos a considerar una serie de las de $\sum _n \frac{1}{n^p}$ con $p>0$ un parámetro. Intuitivamente, la convergencia o divergencia de la serie depende de la rapidez del término general $\frac{1}{n^p}$ tiende a $0$ . Esto es así porque la suma es la de infinitas cantidades positivas. Si estas cantidades convergen a $0$ demasiado lento, el número de sumandos en cada suma parcial será más dominante que la magnitud de los sumandos. Sin embargo, si las cantidades convergen a $0$ lo suficientemente rápido, entonces en cada suma parcial la magnitud de los sumandos estará dominada por números de pequeña magnitud, y por lo tanto compensará el hecho de que haya muchos sumandos.

Entonces, la pregunta es qué tan rápido $\frac{1}{n^p}$ convergen a $0$ . Veamos algunos valores extremos de $p$ . Si $p$ es muy grande, por ejemplo $p=1000$ entonces $\frac{1}{n^p}$ se vuelve muy pequeño muy rápidamente (experimente con el cálculo de unos pocos valores para comprobarlo). Así, cuando $p$ es grande, parece que el término general converge a $0$ muy rápido, y por lo tanto esperaríamos que la serie converja. Sin embargo, si el valor de $p$ es muy pequeño, digamos $p=\frac{1}{1000}$ entonces $\frac{1}{n^p}$ es realmente bastante grande para las primeras posibilidades de $n$ y aunque tiende monótonamente a $0$ Lo hace muy lentamente. Por lo tanto, esperaríamos que la serie diverja cuando $p$ es pequeño.

Ahora bien, si $0<p<q$ entonces $\frac{1}{n^q}<\frac{1}{n^p}$ por lo que cuanto mayor sea el parámetro más rápida será la convergencia del término general a $0$ se pone. Así, valores pequeños del parámetro implican divergencia de la serie, mientras que valores grandes del parámetro implican convergencia de la serie. Por tanto, en algún punto intermedio tiene que haber un valor $b$ para el parámetro tal que si $p<b$ entonces la serie diverge, mientras que si $p>b$ entonces la serie converge.

Así que, sólo por este análisis directo del comportamiento con respecto a la variación del parámetro $p$ sabemos (intuitivamente) que debe haber algún valor de corte para $p$ que es la puerta de entrada entre la convergencia y la divergencia. Lo que ocurre en el valor de esa puerta para $p$ no está claro, y no hay ninguna razón de peso para sospechar de un comportamiento de la serie sobre otro. Ahora bien, el paradero particular de ese valor de entrada especial para $p$ debería depender en gran medida de las particularidades del término general. Por tanto, aquí es donde tendrás que profundizar en pruebas más rigurosas.

Espero que esta respuesta, bastante larga, responda a lo que usted se preguntaba. Básicamente, dice que debe existir un parámetro de corte, pero no podemos esperar decir nada sobre su paradero ni el comportamiento en ese valor de corte sin un estudio cuidadoso de los términos generales.

Answer 2

Producimos dos series que se acercan en espíritu a las series que usted menciona. Quizás la divergencia de la primera, y la convergencia de la segunda, sean más claras.

Considere la serie $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\cdots.$$ Así que hay $1$ término igual a $\frac{1}{2}$ y luego un bloque de $2$ cada uno igual a $\frac{1}{4}$ y luego un bloque de $4$ cada uno igual a $\frac{1}{8}$ y luego un bloque de $8$ cada uno igual a $\frac{1}{16}$ y así sucesivamente. Cada bloque tiene suma $\frac{1}{2}$ Así que si añades suficientes términos, tu suma será muy grande. Pero se necesitarán muchísimos términos para sumar $1000$ muchos más términos que átomos hay en el universo. Obsérvese que cada término es menor que el término correspondiente de la serie armónica, por lo que si se suman suficientes términos de la serie armónica, la suma será muy grande.

Ahora considere la serie $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots.$$ Cada término es $\ge$ el término correspondiente de la serie $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$ .

De nuevo, encontramos las sumas de los bloques. El primer bloque tiene la suma $1$ . El segundo ha sumado $\frac{1}{2}$ . El tercero ha sumado $\frac{1}{4}$ . El cuarto ha sumado $\frac{1}{8}$ y así sucesivamente. Así que si sumamos "todos" los términos, obtenemos la suma $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ , una serie familiar con suma $2$ .

Answer 3

Intuitivamente el principal argumento por el que las series armónicas divergen es que $\forall k \sum_{n=k}^{n=2k}\frac{1}{n}>k\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}$ ya que el elemento más pequeño es $\frac{1}{2k}$ y hay k elementos en el intervalo $[k;2k]$ . Así, la suma armónica para cualquier intervalo finito $[k;2k]$ es > 0,5.
Así que si se divide el intervalo infinito sobre el que se hace la suma en intervalos $[1;k][k;2k][2k;4k],...,[2^nk;2^{n+1}k],...$ cada intervalo tiene una suma superior a 0,5 y como hay un número infinito de estos intervalos para cubrir la totalidad $\mathbb{Z}$ se desvía.
Básicamente se hacen cada vez más pequeños, pero no lo suficientemente rápido como para converger a un límite. El p-armónico por otro lado debido al cuadrado en el denominador no puede tener esta "habilidad" y converger, aka se hacen más pequeños más rápido. Para tratar de explicarlo a nivel intuitivo mejor la cosa es así: estás añadiendo un número infinito de la secuencia, por lo que para converger a un límite L tienen que hacerse más pequeños con cierta "velocidad". Ahora bien, incluso si se acercan a 0, si la velocidad a la que se hacen más pequeños no es lo suficientemente alta, entonces seguirán siendo demasiadas cosas añadidas y nunca convergerán.

Answer 4

Si conviertes la suma en una integral, $$ \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}|_1^\infty = -\frac{1}{\infty} + 1 $$ converge, pero $$ \int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \ln x|_1^\infty = \ln \infty $$ no lo hace.

Answer 5

Hmm, me gusta mucho la respuesta de @Andre Nicolas, así que me gustaría también generalizar esa idea a exponentes reales arbitrarios p en el denominador.

En primer lugar, digamos que un límite inferior para cualquier serie de este tipo con exponentes reales p es 1 así que vamos a escribir $L_p=1$ .

En segundo lugar vamos a replantear la serie de límites superiores $U_2$ para el exponente $p=2$ donde los términos repetidos se escriben como multiplicaciones según Andre $$ U_2 = 1 + 2\left(\frac{1}{2^2}\right) + 4\left(\frac{1}{4^2}\right) + 8\left(\frac{1}{8^2}\right) +... $$

Ahora escribamos esto explícitamente como potencias de base 2 : $$ U_2 = 1 + 2^1\left(\frac{1}{2^2}\right) + 2^2\left(\frac{1}{2^{2 \cdot 2}}\right) + 2^3\left(\frac{1}{2^{3 \cdot 2}}\right) +... $$

Vemos, como esto se generaliza a algún exponente p : $$ U_p = 1 + 2^1\left(\frac{1}{2^p}\right) + 2^2\left(\frac{1}{2^{2 \cdot p}}\right) + 2^3\left(\frac{1}{2^{3 \cdot p}}\right) +... $$

Ahora vamos a recoger/cancelar los exponentes $$ U_p = 1 + 2^{1-p} + 2^{2(1-p)} + 2^{3(1-p)} +... $$

Pero esto es ahora una serie geométrica $$ U_p = { 1\over 1-2^{1-p} } $$

y éste tiene un valor finito para cualquier $p=1+\epsilon$ y es infinito para $\epsilon=0$ o $p=1$

Y si la serie de límite superior tiene un valor finito positivo, y el límite inferior es 1 entonces la serie en cuestión debe ser convergente con un valor intermedio.