Cómo proceder con el siguiente determinante de la desigualdad

Question

Deje $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ ser tal que $B^2=I_n$ e $A^2=AB+I_n$. Demostrar que $$\det(A)\leq\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$$

He sido capaz de demostrar que $AB=BA$, $B=A-A^{-1}$ e $A^4-3A^2+I=0$. Ahora, desde esta ¿cómo puedo enfocar el problema.

Answer 1

Si $A^4-3A^2+I=0$ que cualquier autovalor de a$A$ debe satisfacer $\lambda^4-3\lambda^2+1=0$. Este es un biquadratic ecuación, la solución de la que podemos obtener 4 raíces: $\pm\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \pm\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. $det(A)$ es un producto de sus valores propios, por lo que será biigest cuando todos ellos será igual a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.