Coend y al Final de este Functor

Question

Tome un anillo de $R$ y verlo como una categoría enriquecida a través de la categoría de $\text{Ab}$ de abelian grupos. Nota: El Yoneda incrustación $R \rightarrow \text{Fun} (R^{op}, \text{Ab})$ corresponde a la multiplicación de mapa de $\mu : R \otimes R^{op} \rightarrow \text{Ab}$ bajo la yoneda incrustación de objetos (edit: me refería bajo el hom-tensor de la contigüidad de las categorías enriqueció a lo largo de $\text{Ab}$). ¿Cuál es la coend de $\mu$ y lo que es el final de la $\mu$? También, hay una simple descripción de la trenzado de flecha categoría de $R \otimes R^{op}$?

Estoy tratando de desarrollar la intuición para el caso general.

Answer 1

La frase

El Yoneda incrustación $R \rightarrow \operatorname{Fun} (R^{op}, \mathbf{Ab})$ corresponde a la multiplicación de mapa de $\mu : R \otimes R^{op} \rightarrow \mathbf{Ab}$ bajo la Yoneda incrustación.

no es muy correcto ; en su lugar, yo diría que el Yoneda incrustación $R \rightarrow \operatorname{Fun} (R^{op}, \mathbf{Ab})$ corresponde a la $\operatorname{Hom}$ functor $R \times R^{op} \rightarrow \mathbf{Ab}$ a través de "alarmada". Desde la categoría de $R\times R^{op}$ sólo tiene un objeto de $*$, la parte de la flecha de este functor, a continuación, corresponde a la multiplicación de mapa de $R\times R\to R$.

Ahora que sabemos esto, sabemos que el final de este functor $R \times R^{op} \rightarrow \mathbf{Ab}$ debe ser el grupo abelian $\operatorname{Nat}(Id_R,Id_R)$ natural transformaciones de la identidad endofunctor de $R$ a la misma; se puede demostrar que este es isomorfo al centro $Z(R)$ de $R$. De hecho, podemos ver que es bastante directa : una cuña en este functor $R \times R^{op} \rightarrow \mathbf{Ab}$ es sólo un grupo abelian $A$ con un aditivo mapa de $\varphi :A\to \operatorname{Hom}(*,*)=R$, de tal manera que para todos los $r\in R=\operatorname{Hom}(*,*)$ la plaza $$\requieren{AMScd}\begin{CD}A@>{\varphi}>> R \\ @V{\varphi}VV @VV{r\cdot (\_)}V \\ R @>>{(\_)\cdot r}> R \end{CD}$$ desplazamientos, lo que es equivalente a pedir que $r\varphi(a)=\varphi(a)r$ para todos los $a\in A$, es.e. que $\phi$ factores a través de $Z(R)$.

Por otro lado, un cowedge sería un grupo abelian $B$ y un aditivo mapa de $\psi:R\to B$ tal que $\psi(r\cdot s)=\psi(s\cdot r)$ para todos los $r,s\in R$, por lo que el coend debe ser dado por el universal, tales abelian grupo; este puede ser construido como el cociente de $R$ por el subgrupo generado por todos los términos de la forma $r s-s r$, con el cociente mapa como $\psi$.

Como para el trenzado de flecha categoría de $R$, habría elementos de $r$ como objetos, y una flecha $r\to s$ sería un par de $(x,y)\in R^2$ tal que $s=xry$. Así que es exactamente lo que obtendrá si usted ve $R$ como $R\otimes R^{op}$-módulo (es decir, un bimodule sobre sí mismo) y se aplican a la construcción en esta pregunta!