- Prácticamente por definición. La teoría electrodébil está construido alrededor de $SU(2) \times U(1)$, que es un producto Cartesiano de dos grupos, por lo que tiene de ellos como los desplazamientos de las piezas mediante la definición.
- $U(1)_{\text em}$ e $U(1)_Y$ son diferentes subgrupos de $SU(2) \times U(1)$ tanto isomorfo a lo abstracto $U(1)$. El $U(1)_Y$ desempeña un papel en la definición del modelo electrodébil, pero debido a que la partícula de Higgs, adquiere un VEV, el $U(1)_{\text em}$ desempeña un papel en la quebrada la fase en la que nos toca vivir.
- Ver a continuación.
- Hypercharge es el $U(1)_Y$ indicador de carga. En el Modelo Estándar, los valores de hypercharge se eligen de modo que las partículas tienen propiedades consistentes con la observación. El peculiar patrón de hypercharges es, por tanto, arbitraria en el Modelo Estándar, pero su estructura ha sido considerado como un indicio de la física más allá del Modelo Estándar. Curiosamente la mayoría de los intestinos teorías predicen exactamente el patrón correcto de hypercharges.
Para entender el calibre de los cargos, una pequeña introducción a la teoría de la representación de Lie semisimple el álgebra es necesario. Tenga en cuenta que estoy dejando una gran cantidad de detrás de las cortinas de aquí!
Un hecho importante acerca de semisimple álgebras de Lie es que admiten que el Cartan-Weyl base que se divide en un máximo de desplazamientos subalgebra llamado la Cartan subalgebra, y el resto de los generadores llamados raíces. El número de Cartan subalgebra de los generadores se llama el rango de la álgebra, y es el número de calibre de los cargos. Pensar en el Cartan subalgebra como el espacio de números cuánticos (la analogía es muy estrecha, porque ambos son los máximos desplazamientos de los subespacios de algo más, la Mentira de álgebra o el espacio de configuración de un sistema).
Todos los campos (y por lo tanto las partículas se clasifican en finito-dimensional de las representaciones de la Mentira álgebra de $SU(2) \times U(1)$, que es $\mathfrak{su}_2 \oplus \mathfrak{u}_1$, y a cada representación es una suma directa de representaciones irreducibles, o irreps.
Cartan subalgebra generadores simultánea de los autovalores en el espacio vectorial de cualquier irrep, porque todos ellos de camino al trabajo. Estos autovalores se llama medidor de cargos.
Por ejemplo, $\mathfrak{su}_2$ tiene rango 1, y el Cartan-Weyl base puede ser elegido de la siguiente manera:
- Cartan subalgebra es generado por $J_3$.
- Dos raíces son $J_1 \pm i J_2$.
Su irreps están marcadas por un semestre entero $j$ llamada espín (aquí para abstracto $\mathfrak{su}_2$, pero "spin" también tiene un significado en física de partículas), y el spin-$j$ irrep tiene dimensión
$$ \dim V_j = 2j + 1. $$
Los autovalores de a$J_3$ a $V_j$ rango de $-j$ a $j$ con un intervalo de $1$: $-j, -j+1, \dots, j-1, j$. Esta conforman un indicador de carga que se llama isospin (a veces el término isospin se refiere a $j$, y el autovalor de a$J_3$ se llama 3-rd proyección de isospin).
Para dar un ejemplo de la vida real, considere la posibilidad de una izquierda quirales duplet
$$ \left(\begin{array}{c}
e_L\\
\nu_{e}
\end{array}\right){} $$
Se encuentra en la $V_{1/2}$ irrep de $\mathfrak{su}_2$, e $e_L$ e $\nu_e$ son autoestados de $J_3$ con isospin $\mp 1/2$ respectivamente.
Otro ejemplo es el de la derecha quirales electrón $e_R$ que es un $\mathfrak{su}_2$ singlete, que es, pertenece a la 1-dimensional irrep $V_0$. Su isospin es $0$.
El $\mathfrak{u}_1$ subalgebra no es semisimple y tiene que ser manejado por separado, pero, afortunadamente, la teoría de la representación de $\mathfrak{u}_1$ es bastante sencillo. Todas las irreps de un abelian álgebra 1-dimensional, y son completamente parametrizado por la elección de un número que corresponde a la única generador de $J$. Por la Mentira, el álgebra de $U(1)_Y$ que el número es llamado hypercharge, y para $U(1)_{\text{em}}$ es la carga eléctrica.
A la pregunta de por qué la carga eléctrica está cuantizada está abierto en el Modelo Estándar. Tripas intento incrustar $\mathfrak{su}_2 \oplus \mathfrak{u}_1$ en un nivel superior de Lie semisimple álgebra (e.g $\mathfrak{su}_5$), lo que significa que la carga de la cuantización (tanto para hypercharge y carga eléctrica) que sale de forma natural.
Finalmente, la fórmula que relacionan los dos $\mathfrak{u}_1$ cargos:
$$ Q = J_3 + \frac{Y}{2},$$
que es, por supuesto, sólo el preferido por los físicos de la normalización de $Q$ e $Y$.
Ahora para obtener más interesante álgebras como $\mathfrak{su}_3$ (para QCD) o $\mathfrak{su}_5$ (el más simple INTESTINO modelo), los rangos son, respectivamente, $2$ e $4$, por lo que irreps forma peculiar patrones de medidor de carga en 2 dimensiones y 4 dimensiones de los espacios respectivamente.
Garrett Lisi tiene una impresionante aplicación navegador llamada "partícula elemental explorer" que los mapas de las partículas elementales puntos en $\mathbb{R}^n$ con las coordenadas correspondientes para medir los cargos. Se trabaja con el Modelo Estándar, varias INTESTINO modelos, así como con Lisi s pet E8 modelo (que en su estado actual no está bien definido).
UPD
Yo te daré la derivación de $U(1)_{\text{em}}$.
El campo de Higgs es un escalar multiplet con las siguientes propiedades de transformación en virtud de la electrodébil grupo $SU(2) \times U(1)_Y$:
- En virtud de la $SU(2)$ parte se transforma como un douplet – la irrep con $j = 1/2$. Los generadores de $SU(2)$ en el spin-$1/2$ irrep están dadas por $$J_i = \frac{1}{2} \sigma_i,$$ where $\sigma_i$ son las matrices de Pauli.
- En virtud de la $U(1)_Y$ parte se transforma como un singlete con hypercharge $1$. El generador de $U(1)_Y$, que es, por supuesto, sólo $Y$, actúa sobre la partícula de higgs, como $1$.
Se sabe que la partícula de Higgs, adquiere un valor distinto de cero vacío expectativa de valor (VEV) a través de la dinámica del modelo electrodébil. De esta forma se rompe el pleno electrodébil grupo. La pregunta importante es – que parte de el grupo es continua (es decir, conserva el VEV)?
La partícula de Higgs, VEV en la central unitaria de la galga es
$$ \phi_{0}=\left(\begin{array}{c}
0\\
v
\end{array}\right). $$
Actuando con $J_1 \sim \sigma_1$ o $J_2 \sim \sigma_2$ en la mezcla de los componentes, debido a que estas matrices no son diagonales. Por lo tanto, no distinto de cero combinación lineal de estos puede preservar el VEV.
También, el $U(1)_Y$ generador, el cual es $Y$ no conserva el VEV. Sabemos que actúa como $1$, por lo que
$$ Y \phi_0 = \phi_0 \neq 0.$$
Sin embargo, una combinación lineal de $J_3$ e $Y$ hace cero el VEV!
$$ J_{3}=\frac{1}{2}\sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1/2 & 0\\
0 & -1/2
\end{array}\right), $$
$ $ \left(J_{3}+\frac{1}{2}Y\right)\phi_{0}=\left(\begin{array}{cc}
1/2+1/2 & 0\\
0 & -1/2+1/2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
0\\
v
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\right). $$
Aquí hemos encontrado el llamado "pequeño grupo" – el subgrupo del grupo gauge que conserva el VEV de la partícula de Higgs. Resulta que es el $U(1)_{\text{em}}$, generado por
$$ Q = J_3 + \frac{1}{2} Y. $$
