Un triángulo de perímetro y de área tienen el mismo valor entero. ¿Cuál es la menor posible área del triángulo?

Question

Una pregunta de IGCSE 9 de Grado en Matemáticas, Además de la Trigonometría

Answer 1

Deje $a$ ser el área de este triángulo y $p$ de su perímetro. Dado $p$ el área es más grande cuando el triángulo es equilátero. Esto lleva a $$a\leq{\sqrt{3}\over36}\>p^2\ .\tag{1}$$ Ahora queremos $a=p$. De $(1)$ obtenemos entonces $$p\geq {36\over\sqrt{3}}\approx20.8\ .$$ Desde $a=p$ tiene que ser un número entero llegamos a la condición de $a=p\geq21$. Un triángulo equilátero con $p=21$, es decir, de lado de longitud $7$, tiene área de $a=21.22$. Debe ser posible hacer que los lados igual a $7-2h$, $7+h$, $7+h$ tal que $a=21$.