La prueba de que cuando f'(x) ≤ f(x), f(x) =0

Question

Vio este problema en línea, pero no tienen ideas. No he sido capaz de encontrar una solución en cualquier lugar, pero le gustaría ver una prueba.

Tomar un valor real de la función de $f$ que es continua y diferenciable en a$[a,b]$ e $f(x) \ge 0$ para todos los $x$ en $[a,b]$, que tiene las siguientes propiedades:

1. $f(a)=0$

2. $f′(x) \le f(x)$ para todos los $x$ en $[a,b]$

Mostrar que $f(x)=0$ para todos los $x$ en $[a,b]$.

¿Y si la segunda propiedad es que $f(x) \le \int_a^x f(t) \,dt$ para todos los $x$ en $[a,b]$? Es la conclusión sigue siendo la realidad?

Answer 1

La primera parte es falsa: tome $a=0,b=1$ e $f(x) =-x$. El mismo ejemplo se muestra que la segunda parte también es falso.

La condición de $f(x) \geq 0$ se añadió más tarde. En este caso podemos ver que $f=0$ menores de 2 años). Tenga en cuenta que $(e^{-x}f(x))'\leq 0$. Por lo $e^{-x}f(x)$ es una disminución de la no-negativo de la función que se desvanece en $a$ por lo tanto es $0$ todas partes.

El resultado también es cierto en virtud de la segunda hipótesis. Basta con aplicar la primera parte de la función de $\int_a^{x}f(t)\, dt$.

Answer 2

Vamos a utilizar un clásico truco.

Escriba su desigualdad bajo la forma de $(f'(x)-f(x))\leq 0$.

Multiplicar por la cantidad positiva $e^{-x}$ ; usted obtener :

$(e^{-x}f(x))'\leq 0 \tag{1}$

Por lo tanto la función

$$g(x):=e^{-x}f(x)\tag{2}$$

está disminuyendo.

Como $f(a)=0$ implica $g(a)=0$, $g$ es una función decreciente siempre negativo en $[a,b]$. Como $e^{-x}>0$, (2) da $\forall x \in [a,b], f(x) \leq 0$, Pero con la hipótesis (se han añadido) $f(x)\geq 0$, debemos tener $f=0$ idéntica en $[a,b]$.

Para tu segunda pregunta que ahora entiendo : sí, usted puede tener la misma conclusión. Vamos a definir

$$h(x):=\int_a^x f(t)dt.$$

Tenemos $h'(x)=f(x)$ por el teorema fundamental del cálculo.

Por lo tanto, podemos transformar su segunda desigualdad en este otro :

$$h'(x) \leq h(x), \ \text{with, moreover} \ h(a)=0$$

Y así regresamos a la primera cuestión con $h$ sustitución de $f$.

Observaciones :

1) una especie de generalización, es decir, Grönwall la desigualdad https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6nwall%27s_inequality donde exponencial "sale" de una manera natural.

2) Un problema similar : No $f(0)=0$ $\left|f^\prime(x)\right|\leq\left|f(x)\right|$ implican $f(x)=0$?