Interesante diferencia entre Lebesgue y Riemann Integral

Question

La integral de Riemann hace que si tenemos $|f| \leq |g|$ en $[0,1]$ entonces la integrabilidad de $g$ no implican necesariamente la integrabilidad de $f$ . Por ejemplo, que $f = \chi_\mathbb {Q}$ , $g = 1$ . Luego $g$ es integrable pero $f$ no lo es.

La idea aquí parece ser que (al menos en espacios con medida finita), la integral de Lebesgue hace un mejor trabajo al lidiar con la falta de regularidad que no ocurre debido a "explosiones". Casi siempre (juego de palabras no deseado), la integral de Lebesgue no converge debido a una explosión (es decir $1/x$ ) o una función con colas demasiado grandes ( $1/ \sqrt {x}$ lejos de su origen).

¿Qué es exactamente lo que tiene la integral de Lebesgue que impide el comportamiento singular en los espacios de medida finita? La desigualdad de Holder nos dice que en los espacios de medida finitos, los límites esenciales son suficientes para garantizarnos la existencia de una integral, pero esto no es de ninguna manera cierto para la integral de Riemann. Parece que el fallo catastrófico de la integral de Riemann/Darboux es esta idea de que tanto las sumas superiores como las inferiores necesitan converger cuando la malla de separación va a $0$ . En el caso de los racionales, para cualquier partición finita, las sumas superiores e inferiores son siempre $0,1$ respectivamente, lo que significa que la convergencia no se produce. ¿La integral de Lebesgue evita esto considerando sólo un supremacía (digamos sobre una aproximación de función simple creciente?)

Edición: Cuanto más pienso en esto, más me doy cuenta de que el tema se basa en la mensurabilidad. La integral de Riemann para la característica de los racionales no converge porque no hay una forma coherente de asignar un contenido de Jordania (en sentido estricto no es una medida) a este conjunto. Específicamente, la monotonía anterior para converger (la convergencia de RHS implica la convergencia de LHS) ocurre sólo cuando ambos $f,g$ son Funciones medibles de Lebesgue . Por lo tanto, creo que la monotonicidad sería válida para la integral de Riemann si se nos dijera que ambos $f,g$ son "Jordan mensurable" (lo que sea que eso signifique).

Answer 1

Tal vez ya sepa la mayor parte de esto, pero aquí hay algunas cosas que debe tener en cuenta.

Sólo hay una definición de integrabilidad de Riemann que debe ser muy restrictiva para que funcione. No se trata de integrales impropias. Por otro lado, una noción efectiva de integrabilidad de Lebesgue puede definirse jerárquicamente a medida que se debilitan estas condiciones restrictivas.

Empezar con conjuntos de medida finita $E \subset \mathbb{R}$ y funciones acotadas $f:E \to \mathbb{R}$ .

(1) En sentido estricto, la integral de Riemann se define para funciones sobre un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ . Además, es necesario que la función esté acotada para cumplir el requisito de que exista $I \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $\epsilon > 0$ existe una partición $P_\epsilon$ de $[a,b]$ tal que para cualquier partición $P$ que es un refinamiento de $P_\epsilon$ y cualquier suma de Riemann $S(P,f)$ tenemos $|S(P,f) - I| < \epsilon$ . Que $f$ debe estar acotado no es sólo una parte arbitraria de la definición.

Por supuesto, es posible ampliar la definición a intervalos abiertos o incluso a subconjuntos generales $E$ de medida finita con $\int_E f$ definido como $\int_a^b f(x) \chi_E(x) \, dx$ . No obstante, la definición de integrabilidad de Riemann sólo puede cumplirse cuando la medida de la frontera $\partial E$ es $0$ y esto está relacionado con la noción de mensurabilidad de Jordan.

Evidentemente, hay funciones acotadas definidas sobre conjuntos de medida finita que no son integrables de Riemann -como la función de Dirichlet que mencionas- y esto se debe enteramente a que hay "demasiada" discontinuidad.

(2) De nuevo para funciones acotadas sobre conjuntos de medida finita, existe siempre existen integrales de Lebesgue inferiores y superiores

$$\underline{\int}_E f = \sup_{\phi \leqslant f} \int_E \phi, \quad \overline{\int_E} f = \inf_{\psi \geqslant f} \int_E \psi,$$

donde $\phi$ y $\psi$ son funciones simples, y debemos tener

$$\underline{\int}_E f\leqslant \overline{\int_E} f $$

La definición más básica en este caso restrictivo es que $f$ es "integrable por Lebesgue" en E si

$$\underline{\int}_E f = \overline{\int_E} f$$

Hay dos teoremas importantes para las funciones acotadas en conjuntos de medidas finitas.

Teorema 1: Si una función es integrable de Riemann entonces es integrable de Lebesgue.

Teorema 2: Una función es integrable en Lebesgue si y sólo si es medible.

Una consecuencia importante del Teorema 1 es que la clase de funciones integrables de Lebesgue incluye la clase de funciones integrables de Riemann.

Una consecuencia importante del Teorema 2 es que, de forma similar a la integral de Riemann, existen funciones acotadas definidas sobre un conjunto de medida finita que no son integrables por Lebesgue. Para ver esto tomemos $E$ como un conjunto no medible y considerar la función $\chi_E$ .

Planteas una cuestión interesante sobre por qué la integral de Lebesgue se ve menos afectada por la extensión de la discontinuidad mientras tengamos mensurabilidad.

A continuación, consideremos conjuntos de medida infinita $E \subset \mathbb{R}$ y/o funciones no limitadas $f:E \to \mathbb{R}$ .

Aquí ni siquiera podemos hablar de integrales de Riemann, pero la integral de Lebesgue puede extenderse. En primer lugar, extendemos a funciones no negativas donde la integral de Lebesgue se puede definir utilizando la definición anterior como el sumo de $\int_E g$ sobre todas las funciones no negativas, acotadas y medibles $g$ con soporte compacto en $E$ . En este caso la integral puede tomar el valor $+\infty$ por lo que la satisfacción de esta definición por sí sola no significa que $F$ es integrable en Lebesgue. Para los casos no negativos $f$ para que sea integrable en Lebesgue debemos tener $\int_E f < +\infty$ .

La razón de esta definición de integrabilidad de Lebesgue es que permite ampliar la definición de la integral para incluir funciones generales. En este caso, consideramos partes positivas y negativas $f^+$ y $f^-$ (que a su vez son funciones no negativas) y definir la integral de Lebesgue como

$$\tag{*}\int_E f = \int_Ef^+ - \int_E f^-$$

Desde $+\infty - +\infty$ no puede definirse de forma significativa, lo que explica que la integrabilidad de Lebesgue de una función no negativa estipule que la integral de Lebesgue es finita. En caso contrario, (*) no está bien definida. De este modo, la integrabilidad de Lebesgue de una función general $f$ implica que también tenemos

$$\int_E|f| = \int_Ef^+ + \int_E f^- < +\infty$$

Integrales de Riemann impropias

En su pregunta, cita funciones como $x \mapsto 1/x$ en $(0,1]$ y $x \mapsto 1/\sqrt{x}$ en $[1, \infty)$ como ejemplos en los que la integral de Lebesgue "falla". No hace falta decir que estas funciones no son integrables de Riemann, pero podemos decir que hemos definido integrales de Lebesgue

$$\int_{(0,1]} \frac{1}{x} = +\infty , \quad \int_{[1,\infty)} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$$

Simplemente no podemos decir que estas funciones sean integrables de Lebesgue como se ha explicado anteriormente.

Algunas de las deficiencias de la integral de Riemann pueden corregirse introduciendo la integral de Riemann impropia. Incluso podemos encontrar ejemplos en los que una función es integrable de Riemann impropia pero no integrable de Lebesgue. Tal vez haya que tener esto en cuenta también a la hora de evaluar los méritos relativos de la integración de Riemann y de Lebesgue.