Cuál es la lógica detrás de las combinaciones con las repeticiones de la fórmula

Question

Este mes, me estoy tomando la combinatoria clases en mi escuela, el día de ayer hemos aprendido acerca de las combinaciones con las repeticiones de la fórmula. Nuestro profesor escribió en la pizarra, pero ella realmente no se explica cuál es la lógica detrás de esto y por qué la reducción de las combinaciones sin repetición de trabajo. Tenía curiosidad por saber cómo iba a explicar esto de una manera más natural otros no sólo el aprendizaje de la fórmula tal y como es.

Para aquellos que no estaba seguro de que la fórmula que quiero decir aquí es: $$\bar{C}^{k}_{n} = C^{k}_{n+k-1}$$

Answer 1

Bien, una $k$-repetición de $n$ es una palabra $x=x_1\ldots x_n$ de la longitud de la $n$ sobre el alfabeto ${\Bbb N}_0$ (números naturales incluyendo $0$) tal que $x_1+\ldots+x_n=k$.

El $2$-repeticiones de $4$son $2000,1100,1010,1001,0200,0110,0101,0020,0011,0002$.

Contar el número de maneras de dibujar $2$ números de $1,2,3,4$ sin mirar a la orden y con reemplazo (poner de vuelta). Aquí $2000$ cuentas para el dibujo de las dos $1$'s y $1100$ para el dibujo de las $1$ e $2$.