Necesito encontrar la proyección de $x \in \mathbb{R}^{k}$ de un vector $z \in \mathbb{R}^{k}$ en el conjunto definido por $Y \cdot x \geq 0$ donde $Y$ es un (dado pero no específicos de la propiedad) de la matriz de tamaño $m \cdot k$.
Yo primero construir el Lagrangiano de la siguiente manera :
$$L=\frac{1}{2} ||x-z||^2 -\sum_{i=1}^m \lambda_i Y(i,:)x$$ and set its gradient w.r.t. $x$ to $0$ which leads to $$x=z+\sum_{i=1}^m \lambda_i Y(i,:)^T$$
Las restricciones de la desigualdad agrega un adicional de KKT condición :
$$\lambda_i \cdot Y(i,:)x=0 \; \forall i=1,...,m ; \lambda_i \geq 0$$
La sustitución de $x$ dentro de da $$\lambda_i \cdot Y(i,:)[z+\sum_{i=1}^m \lambda_i Y(i,:)^T]=0 \; \forall i=1,...,m$$
Es donde se hace más difícil para mí. Supongo que cualquiera de las $\lambda_i$ o $Y(i,:)[z+\sum_{i=1}^m \lambda_i Y(i,:)^T]$ debe ser igual a $0$ pero luego me he atascado. De hecho, la segunda condición es un escalar producto de la vinculación de todos los $\lambda_i$ y no sé cómo lidiar con él de forma adecuada. Cualquier ayuda apreciada