El círculo más grande en la cuenca de atracción del origen.

Question

Tenemos sistema dinámico:

$$ \dot x = -x + y + x (x^2 + y^2)\\ \dot y = -y-2x + y (x^2 + y^2) $$

La pregunta es ¿cuál es la mayor constante de $r_0$ s.t. círculo de $x^2+y^2 < r_0^2$ se encuentra en los orígenes de la cuenca de atracción.

Hasta el momento, con relativamente fácil de álgebra tengo:

$$ \dot r = \frac{r}{2}(-2-\sin(2 \pi)+2r^2) \\ \dot \phi = -(1+\cos^2(\phi)) $$

Que de inmediato muestra $r_0 \geq \sqrt{1/2}$. Cómo mostrar que no hay mejor bound?

Answer 1

(Este es sólo un "numérica" respuesta a la pregunta)

Una cuenca de atracción se puede encontrar numéricamente utilizando la inversa de tiempo (o hacia atrás) de integración. Si elegimos algún punto inicial e integrar hacia atrás durante un tiempo suficiente, se puede obtener el conjunto de los estados del sistema que había antes de llegar al punto inicial seleccionado. Así, si elegimos suficientemente muchos puntos iniciales que figuran en la cuenca de atracción (es decir, lo suficientemente cerca de la atracción de estado estacionario) e integrar hacia atrás, podemos tener una idea de cómo la cuenca de atracción.

La siguiente imagen muestra el aprroximation de la cuenca de atracción del sistema: El azul de las curvas de relleno de la cuenca de atracción. El círculo rojo es el círculo más grande que cabe en la cuenca de atracción. He elegido 36 puntos iniciales sobre el círculo de radio de 0.05. Aquí está el código de Matlab:

axes 
hold on
r= 0.05; % radius of the circle of initial points
rpm= @(t,x)[-x(1)+x(2)+x(1)*(x(1)^2+x(2)^2);...
-x(2)-2*x(1)+x(2)*(x(1)^2+x(2)^2)]; % the right part of the system
for fi= 0:pi/36:2*pi
        % notice the backward in time direction of integration
    [t,z]= ode45(rpm,15:-0.1:0,r*[cos(fi) sin(fi)]);
    plot(z(:,1),z(:,2),'b');
end
grid on
h= ezplot('x^2+y^2=0.847^2',[-2 2],[-1.5 1.5]); % draw the circle
h.LineWidth= 1.7;
h.Color= 'red';
axis equal

Answer 2

Después de resolver el sistema

$$ \dot r = \frac{r}{2}(-2-\sin(2 \pi)+2r^2) \\ \dot \phi = -(1+\cos^2(\phi)) $$

tenemos

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} r & = & \frac{\sqrt{3} \sqrt{3-\cos \left(2 \sqrt{2} \left(t-2 c_1\right)\right)}}{\sqrt{3 e^{2 t} c_2-\cos \left(2 \sqrt{2} \left(t-2 c_1\right)\right)+\sqrt{2} \sin \left(2 \sqrt{2} \left(t-2 c_1\right)\right)+9}} \\ \phi & = & -\tan ^{-1}\left(\sqrt{2} \tan \left(\sqrt{2} t-2 \sqrt{2} c_1\right)\right) \\ \end{array} \right. $$

Con respecto a la $r$ comportamiento de la línea de maxima después de considerar $c_1 = c_2 = 0$ está dado por

$$ r_{max} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3-\cos \left(2 \sqrt{2} t\right)}}{\sqrt{\sqrt{2} \sin \left(2 \sqrt{2} t\right)-\cos \left(2 \sqrt{2} t\right)+9}} $$

con $\min r_{max} = \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{13}}}\approx 0.850088$

Answer 3

Desde el ciclo límite se ve como una elipse centrada en el origen, vamos a tratar de encontrar una función de Lyapunov $V = a x^2 + b x y + c y^2$ s.t. $\dot V = (A x^2 + B x y + C y^2 + D) (V - V_0)$. Esto sólo requiere equiparar los coeficientes de dos polinomios en $x$ e $y$, con un rendimiento de hasta un factor constante, $$V = 8 x^2 - 2 x y + 5 y^2, \\ \dot V = 2 (x^2 + y^2) (V - 6).$$ $V = 6$ es la ecuación de la ciclo límite; el radio del círculo máximo es el semieje menor de la elipse.