¿Qué es un nombre estándar para una "relación" como un subconjunto de a $X\times \mathcal P(X)$ más que de $X\times X$

Question

(Binario) relaciones en $X$ se formalizan como subconjuntos de a$X\times X$.

Pero también hay veces cuando una "relación" es un subconjunto de a$X\times \mathcal P(X)$. Por ejemplo, en topología, podemos decir que $x$ es en el cierre de $X$, y considerar esto como una relación, y escribir $x<X$.

Hay un nombre estándar para un punto-a-set "relación"?

Answer 1

No sé que hay un nombre estándar para ellos. Pero podría llamarlos unario cuantificadores. Para explicar por qué va a tomar un poco de exposición. Usted puede desear para hacer una taza de té y ponte cómodo, ya que esto va a tomar un poco de tiempo.

Parte 0. Si $Y$ es un conjunto, podemos hablar de los cuantificadores en $Y$, lo que yo defino como los elementos de $\mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$. Los dos más conocidos cuantificador familias son:

$$\forall_Y := \{A \subseteq Y : \forall y \in Y(y \in A)\}, \qquad \exists_Y := \{A \subseteq Y : \exists y \in Y(y \in A)\}.$$

La razón de que las definiciones anteriores son naturales, son porque nos da las siguientes equivalencias:

$$\forall(y \in Y) P(y) \iff \{y \in Y : P(y)\} \in \forall_Y$$

$$\exists(y \in Y) P(y) \iff \{y \in Y : P(y)\} \in \exists_Y$$

Pero hay montones de otros ejemplos, por supuesto. Por ejemplo, una topología en $X$ es un cuantificador en $X$ la satisfacción de dos axiomas.

Podemos utilizar esta observación a inventar nuestra propia cuantificadores. Por ejemplo, supongamos $\tau$ es el estándar de la topología de la recta real. Luego, simulando las anteriores equivalencias, podemos escribir: $$\tau(y \in \mathbb{R}) P(y) \iff \{y \in \mathbb{R} : P(y)\} \in \tau$$

Por ejemplo, la declaración de $$\forall(a,b \in \mathbb{R}) \tau(y \in \mathbb{R}) : a < y < b$$ es, básicamente, diciendo que el intervalo de $(a,b)$ es un conjunto abierto.

Parte 1. Si $Y$ es un conjunto, podemos hablar de los elementos de $Y$, que son básicamente la misma cosa como funciones de $1 \rightarrow Y$. De manera más general, podemos hablar de la función de $X \rightarrow Y$, donde $X$ es un índice establecido en el elemento de $Y$ depende. Si es así, entonces tal vez el hecho de tener dos palabras para "función" y "elemento" de alguna manera es un error. Una función es un dependiente de elemento. Un elemento es una función cuyo dominio de la dependencia es trivial. Están haciendo un gesto en exactamente el mismo concepto; ¿por qué dos palabras?

Del mismo modo, si $Y$ es un conjunto, se puede hablar también de los subconjuntos de a$Y$, que son básicamente la misma cosa como funciones de $1 \rightarrow \mathcal{P}(Y)$. De manera más general, podemos hablar de subconjuntos que dependen de un conjunto de índices $X$. Estas son las funciones de $X \rightarrow \mathcal{P}(Y)$, donde $X$ es el dominio en el que los subconjuntos de función. Tales cosas son usualmente llamadas las relaciones, y a menudo se definen como elementos de $\mathcal{P}(X \times Y)$. En efecto, es un hecho general que $$X \rightarrow \mathcal{P}(Y) \cong \mathcal{P}(X \times Y).$$ This may look strange, but it's not too surprising when rewritten as $$(2^Y)^X \cong 2^{X \times Y}.$$ Un buen ejercicio es escribir este bijection explícitamente.

De todos modos, a la luz de esto, tal vez tener dos palabras para "subconjunto" y "relación" es un error. Un subconjunto de a$Y$ es sólo una relación $1 \rightarrow Y$. Una relación de $X$ a $Y$ es sólo un subconjunto de a$Y$ depende de $X$. Están haciendo un gesto en exactamente el mismo concepto; ¿por qué dos palabras?

Ahora, tal ves por donde voy con esto. Como se mencionó anteriormente, si $Y$ es un conjunto, se puede hablar también de los cuantificadores en $Y$, que son básicamente la misma cosa como funciones de $1 \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$. Suponiendo que queremos generalizar esto para que la dependencia de un conjunto $X$ se lo permite. Estamos buscando un nombre para funciones de $X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$. Lo vamos a llamar? Vamos a hacer el bien en nuestras observaciones anteriores de que realmente hay demasiadas palabras para las cosas y sólo las llaman cuantificadores.

Definición. Un cuantificador $X \rightarrow Y$ es una función de $X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$.

Queremos recuperar la definición anterior tomando $X = 1$, y recuperamos el concepto que usted está interesado en tomar $X = Y$.

"Hang on", usted puede decir. "Eso no es lo que me interesa. Estoy interesado en un nombre para los elementos de las $\mathcal{P}(X \times \mathcal{P}(X))$. Has esencialmente me ha dado un nombre para los elementos de las $X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$. Estos no son los mismos!"

"Aha!", dijo I. "Vaya y mire que bijection que escribió anteriormente. Se pone a estos dos conjuntos naturales de la correspondencia!"

Parte 2. Aquí un poco de la terminología existente que vale la pena ser conscientes de:

Terminología Aceptada.

Un nullary de la función en $X$ es una función de $1 \rightarrow X$.

Una única función en $X$ es una función de $X \rightarrow X$.

Una función binaria en $X$ es una función de $X^2 \rightarrow X$.

etc.

Es tentador aplicar este término a las relaciones, como en:

La terminología que no funcionan.

Un nullary relación en $X$ es una función de $1 \rightarrow \mathcal{P}(X)$.

Un unario relación en $X$ es una función de $X \rightarrow \mathcal{P}(X)$.

Una relación binaria en a$X$ es una función de $X^2 \rightarrow \mathcal{P}(X)$.

No funciona porque lo que nosotros estamos llamando a un unario relación anterior en realidad iba a ser considerada como una relación binaria por la mayoría de los autores. Esto nos obliga a inventar una nueva frase: "varios valores de la función". Por ejemplo, podemos hablar entonces de una "unario varios valores de la función en $X$," que es la misma cosa como una relación binaria en a$X$.

No hay ningún tipo de problemas con la extrapolación al mundo de los cuantificadores, sin embargo, debido a que acabamos de hacer de la terminología, así que realmente no hay normas!

La Propuesta De Nueva Terminología.

Un nullary cuantificador en $X$ es una función de $1 \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$.

Un unario cuantificador en $X$ es una función de $X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$.

Una función binaria en $X$ es una función de $X^2 \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$.

etc.

Por lo tanto desde un unario cuantificador en $X$ es una función de $X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$, y puesto que un argumento de la anterior esta es la misma como un elemento de $\mathcal{P}(X \times \mathcal{P}(X))$, propongo que usted puede llamar a esas cosas unario cuantificadores.