Demostrar que los puntos O, P, Q son colineales

Question

Deje $\triangle ABC$ ser un triángulo agudo, con $O$ como su circuncentro. $H$ es el pie de la perpendicular de $A$ a la línea de $BC$, y los puntos de $P$ e $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $H$ a las líneas de $AB$ e $AC$, respectivamente.

Dado que, $$AH^2=2\cdot AO^2$$ demostrar que los puntos a$O,P,Q$ son colineales.

Answer 1

Hacer una inversión centrada en $A$ radio $AH$. La imagen de $P$ es $B$ y la imagen de $Q$ es $C$. Denotar por $O'$ la imagen de $O$ bajo que el de la inversión. Desde $AH^2 = AO \cdot 2AO$, obtenemos $AO' = 2AO$, es decir, $AO'$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABC$. Desde $A, B, C$ e $O'$ mentira en un círculo que pasa por el centro de inversión, las imágenes de $B, C$ e $O'$ se encuentran en una recta. Estas imágenes se $P, Q$ e $O$.