Determinar con una prueba de todos los números primos $p$ tal que $p^2-p+1$ es un cubo de un número primo.
$19^2-19+1=7^3$
Pero es la única $p$?
¿Cómo debo demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a utilizar aquí: Si $a$ e $b$ son enteros positivos, a continuación, $$\boxed{a\mid b\implies a\leq b}$$
Cambiar el nombre de $q=P$. Podemos suponer que $p\geq 23$ e lo $q\geq 8$. Tenemos $$ p(p-1) = (q-1)(q^2+q+1)$$
Si $p\mid q-1$ entonces $q^2+q+1\mid p-1$. Por lo $p\leq q-1$ e $q^2+q+1\leq p-1$ así tenemos $$q^2+q+1\leq q-2\implies q^2+3\leq 0$$ lo cual es imposible.
Si $p\mid q^2+q+1 $ entonces $q-1\mid p-1$. Deje $r=q-1$ entonces tenemos: $p\mid r^2+3r+3$ e $r\mid p-1$ (por lo $\color{red}{r\leq p-1}$), a continuación, $$pr\mid r^2p+3pr+3p-r^2-3r-3$$ and thus $$pr\mid r^2+3r+3-3p$$
Caso 1: $r^2+3r+3>3p$ entonces $$pr\leq r^2+3r+3-3p \implies p\leq r+{3\over r+3}< r+1\leq p$$ Una contradicción.
Caso 2: $r^2+3r+3<3p$ entonces $$pr\leq 3p-r^2-3r-3 < 3p \implies r<3$$ Una contradicción.
Caso 3: $r^2+3r+3=3p =q^2+q+1$ luego $$p-1 = 3q-3 = 3r$$ and thus we have $$r^2+3r+3 = 9r+3\implies r=6 \implies q=7$$ Una contradicción, ya que $q>7$.
Así que la única solución es $P=7$ e $p=19$.
Aviso que no usamos $P$ es primo.
