¿Por qué los ordinales se multiplican en orden inverso?

Question

Cuando dos ordinales, $\alpha$ y $\beta$ se multiplican juntos, $\beta$ se toma como el multiplicando más significativo y $\alpha$ como el multiplicando menos significativo del producto $\alpha \cdot \beta$ . Así, si tomamos dos conjuntos bien ordenados que representan estos ordinales, los elementos de su producto cartesiano se comparan por el segundo componente primero y por los primeros componentes al final, es decir, en orden lexicográfico (colexicográfico) inverso. Esto parece poco natural por las siguientes razones:

• Es más natural decir que $2 \cdot \omega$ son dos secuencias infinitas, es decir $\omega + \omega$ y no una colección infinita de pares, es decir $2 + 2 + 2 + \dots = \omega$ que actualmente está asignada a $2 \cdot \omega$ .

• Cuando comparamos dos números naturales conociendo sus representaciones en decimal o en algún otro sistema numérico, comparamos sus dígitos de izquierda a derecha, siempre que tengan igual número de dígitos (eso siempre se puede conseguir ampliando a la izquierda el cero, si es necesario). Entonces, ¿por qué cambiar esta regla para los ordinales?

• Cuando un producto cartesiano simple $A \times B$ (de conjuntos desordenados), los elementos de $A$ y $B$ se escriben de dos en dos en el mismo orden en el que estaba el orden de los multiplicandos en el producto, sin inversión. Además, el orden total en el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados es introdujo como un simple orden lexicográfico. ¿Por qué habría que invertirlo para los conjuntos bien ordenados?

Se puede decir que hay otros ejemplos de esta notación inversa en matemáticas. Por ejemplo, $f \circ g$ para la composición de funciones, la segunda de las cuales se aplica primero. Sin embargo, esto tiene una explicación razonable: como $f \circ g (x)=f(g(x))$ el orden inverso de aplicación en $f \circ g$ se eligió para que se pareciera a la notación ordinaria con paréntesis $f(g(x))$ . ¿Cuál era la razón para invertirlo en un producto de ordinales?

Answer 1

Razón 1: Porque coincide con las definiciones inductivas que es muy natural.

Razón 2: Porque es tan natural que $2\cdot\omega$ significa "algo del tipo $2$ repetido $\omega$ veces", que resulta ser simplemente equivalente a $\omega$ sí mismo.

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Permítanme señalar que no hay real razón para cualquier convención de anotación. Todo se basa en la historia, la estética y otras tradiciones. Éstas pueden cambiar si decidimos ponernos de acuerdo y cambiarlas. (Por ejemplo, en la teoría de conjuntos, los modernos $L(\Bbb R)$ solía ser $L[\Bbb R]$ (que hoy en día significa otra cosa).

Nadie dice que no haya manera de hacerlo. Claro que la hay. Sólo que lo has hecho diciendo "Oye, vamos a definirlo al revés". La cuestión es cómo de bien juega esta definición con el resto de la notación.

Eso es discutible, y puesto que hay algo bueno en tener una convención uniforme cuando se definen operaciones cada vez más complicadas desde un sucesor, a la adición, a la multiplicación, a la exponenciación, etc., cambiar la forma en que definimos la multiplicación probablemente no se va a poner de moda pronto.

Answer 2

Una posible razón para seleccionar esta notación podría residir en estas dos identidades: $$\alpha^{\beta} \cdot \alpha^{\gamma} = \alpha^{\beta + \gamma}$$ y $$(\alpha^{\beta})^{\gamma}=\alpha^{\beta \,\cdot\, \gamma}$$ En el caso de la notación no invertida habrían cambiado a $$\alpha^{\gamma} \cdot \alpha^{\beta} = \alpha^{\beta + \gamma}$$ y $$(\alpha^{\beta})^{\gamma}=\alpha^{\gamma \,\cdot\, \beta}$$ respectivamente. Esto parece contradictorio. Dado que la exponenciación es tan utilizada con los ordinales como la multiplicación, se decidió sacrificar cierta naturalidad en la definición de la multiplicación en aras de unas propiedades de mejor comportamiento, para simplificar su estudio y uso. Esto es sólo una suposición, por supuesto.