Proceso de Poisson en Skorokhod del espacio

Question

Para cada una de las $n=1,2,\ldots $, vamos a $\ \xi_{n1},\ldots, \xi_{nn}$ aleatorios y variables independientes tales que $\mathbb{P}(\xi_{ni}=1)=p_n \ \ $ e $\ \ \mathbb{P}(\xi_{ni}=0)=1-p_n$. Vamos a considerar el proceso: $$ Y_n(t)=\sum_{k=1}^{[nt]}\xi_{nk} \ \ \ \ \ t\in [0,1],$$ donde $[x]$ representa el suelo de $x$.

Suponiendo que $np_n\to \lambda\ $ como $n$ va a la $\infty$, $\lambda>0$, probar que: $$ Y_n \to Y \ \ \ (\text{in distribution), in} \ D[0,1], $$ donde $Y$ es un proceso de Poisson con parámetro de $\lambda$, e $D[0,1]$ es el Skorokhod (Skorohod) espacio.

---

Así que lo que tengo es: $$ \xi_{ni}\in Be(p_n),$$ para todos los $n$ y para todas las $i=1,\ldots ,n$.
Y con esto y la independencia de $\xi_{n1},\ldots ,\xi_{nn}$, podemos deducir que: $$ Y_n(t)=\sum_{k=1}^{[nt]}\xi_{nk} \in Bin([nt],p_n)$$ También sé que si $X_n\in Bin(n,p_n) \ \ $ e $\ \ np_n \to \lambda$, a continuación, $\ \ X_n\to Poisson(\lambda) \ \ $(en distirbution.)

Yo no sé cómo seguir con esto. No estoy seguro de si puedo usar esa: $$ [nt]p_n \to \lambda t \ \ \text{,and then,} \ \ Y_n(t)\to Poisson(\lambda t)$$ Estoy realmente perdido desde aquí, ya que incluso si lo que dijo era cierto, eso no implica que sucede en $D[0,1]$.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

$\def\la{\lambda}$ $\def\To{\Rightarrow}$ $\def\bR{\mathbb{R}}$ $\def\al{\alpha}$ $\def\be{\beta}$ $\def\ep{\varepsilon}$

Sí, usted puede utilizar lo que escribió a la conclusión de que para cada uno de ellos fijo $t$, la secuencia de variables aleatorias $Y_n(t)$ converge en distribución a una distribución de Poisson con parámetro de $\la t$. O en otras palabras, $Y_n(t) \To Y(t)$ en $\bR$.

Esto, sin embargo, no es suficiente para demostrar que $Y_n\To Y$ en $D[0,1]$. Para esto, les quiero mostrar dos cosas:

1. Para cada conjunto finito $\{t_1,\ldots,t_k\}\subset[0,1]$, $$ (Y_n(t_1), \ldots, Y_n(t_k)) \A (Y(t_1), \ldots, Y(t_k)) $$ en $\bR^k$, y
2. La secuencia de $\{Y_n\}$ es relativamente compacto en $D[0,1]$.

En cualquier prueba de la convergencia de este tipo, (2) tiende a ser la más difícil. Las cosas a veces son un poco más fácil en $C[0,1]$, pero en $D[0,1]$, aquí es una condición suficiente para la compacidad relativa:

Existe $\al,\be,C>0$ tal que para todos los $t$ e $\ep$ satisfacción $0\le t-\ep<t+\ep\le 1$, tenemos $$ E[|Y_n(t+\ep) - Y_n(t)|^\al|Y_n(t) - Y_n(t-\ep)|^\al] \le C\ep^{1+\be} $$ para todos los $n$.

Esta condición suficiente es una consecuencia inmediata del Teorema 3.8.8 en Ethier y Kurtz.