es $(x+y,x-y)$ un alojamiento ideal en $\mathbb{Z}[X,Y] $

Question

Es $ I=(x+y,x-y)$ un alojamiento ideal en $\mathbb{Z}[x,y]$

Desde $x+y, x-y \in \mathbb{Z}$, por lo tanto, $(2x,2y) \in (x+y, x-y)$, y esto implica que en $R=\frac{\mathbb{Z}[x,y]}{(x-y,x+y)}$, tenemos $2x=0$. Pero ni $2$ ni $x$ es de cero en $R$. Esto demuestra que R no es una integral de dominio, lo que implica que $I$ no es un alojamiento ideal.

Answer 1

La idea de la prueba es buena, y todo parece estar correcto. Sin embargo, yo personalmente prefiero algo más de la justificación de la declaración de que ni la $2$ ni $x$ son cero en $R$. O, equivalentemente, (y un poco más fácil en mi opinión), por lo que no son en $(x+y,x-y)$ como elementos de $\Bbb Z[x,y]$. Porque en general, esto no es fácil de ver, y no siempre es fácil de identificar si es fácil de ver. Por lo que el ser minucioso sólo por motivos de seguridad es generalmente una buena cosa.

Por ejemplo, usted tiene la evaluación homomorphisms $\Bbb Z[x,y]\to \Bbb Z$. La evaluación en $(0,0)$ toma cualquier elemento en el ideal de a $0$ (ningún elemento del ideal tiene un término constante), pero no tome $2$ a $0$, lo $2$ no está en el ideal. Y la evaluación homomorphism en $(1,1)$ toma cualquier elemento en el ideal para un número par (ningún elemento en el ideal tiene una extraña suma de los coeficientes), pero tarda $x$ a $1$, lo $x$ no puede estar en el ideal.