¿Por qué la "degeneración" del espín del electrón no debería ser infinita?

Question

Cuando calculamos el densidad de estados para un electrón, de la manera estándar como se hace en los libros de texto de mecánica estadística ( integrando una vez sobre el espacio, y luego integrando sobre $\theta$ y $\phi$ del espacio k,etc), finalmente multiplicar un "2" como la degeneración de espín .

Mi pregunta es, ya que el electrón puede estar en un número infinito de estados en la esfera de Bloch, ¿por qué sólo tomamos dos estados? Sé que sólo dos del número infinito de estados son ortogonales, pero incluso si el enorme número de estados son no ortogonales, por qué no deberían contribuir a aumentar el número de Estados ?

No quería utilizar el término degeneración en el título, porque la degeneración es definido como la dimensión del eigespacio del eigenvalor degenerado, por lo que es, por supuesto, dos. Lo que quiero saber es, ¿por qué estamos tomando sólo los estados ortogonales?

Answer 1

Buena pregunta. En realidad, lo que importa al calcular la densidad de estados es el número de estados ortogonales, ya se trate de espín, estados espaciales o lo que sea. En otras palabras, quieres saber la densidad de la dimensión del espacio de Hilbert. Para dar un ejemplo no espín si usted está buscando en la densidad de estados en un $L\times L\times L$ En la caja del gas de Fermi, los estados de momento se obtienen imponiendo condiciones de contorno periódicas... pero según tu argumento, en cuanto tengas dos funciones propias de momento, deberías tener una densidad de estados infinita, porque cada partícula podría estar en cualquier superposición de esos dos estados. Como sabes, en realidad no es así: lo mismo ocurre con los espines. Cuenta el número de estados ortogonales, no el número total de vectores en el espacio de Hilbert (¡normalmente infinito!)

Answer 2

Me gusta la respuesta de Will, pero he pensado añadir también una que muestra dónde está el factor de $2$ (y, en general, la dimensión del espacio de Hilbert degenerado) proviene realmente en el formalismo.

En la formulación canónica, si descomponemos el espacio de Hilbert en cuestión como $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ , donde se puede pensar en $\mathcal{H}_1$ para describir la componente espacial y $\mathcal{H}_2$ como descripción del espín, entonces la función de partición para el sistema a temperatura $\beta=1/kT$ es

$$Z\equiv\sum_{E}e^{-\beta E}=\text{Tr}\left(e^{-\beta H}\right),$$

donde $H$ es el Hamiltoniano que actúa sobre $\mathcal{H}$ y el $\text{Tr}$ también actúa sobre todo el espacio de Hilbert.

Ahora, si todos los espines son degenerados en cada nivel de energía, entonces el Hamiltoniano se descompone naturalmente como $H=H_{s}\otimes\textbf{1}$ donde $H_{s}$ puede considerarse como el Hamiltoniano espacial. Entonces la función de partición será

$$Z=\text{Tr}\left(e^{-\beta H_s\otimes\textbf{1}}\right)=\text{Tr}\left(e^{-\beta H_s}\otimes\textbf{1}\right)=\text{tr}_1\left(e^{-\beta H_s}\right)\text{tr}_2(\textbf{1})=\text{dim}(\mathcal{H}_2)Z_{s},$$

donde $Z_{s}$ se define como la función de partición para $H_s$ . De aquí procede esquemáticamente la dimensión del espacio de Hilbert degenerado en estos cálculos. En particular, dado que la densidad de estados para un espectro continuo se define de modo que

$$Z=\int\mathrm{d}E\,g(E)\,e^{-\beta E},$$

es evidente que teniendo un subespacio degenerado $\mathcal{H}_2$ corresponde a multiplicar la densidad de estados por $\dim(\mathcal{H}_2)$ o, en el caso del espín, multiplicando por $2$ (o $2s+1$ para un giro masivo- $s$ partícula).

Espero que te sirva de ayuda.