$\int f^2$ y $\int f''^2$ es convergente entonces también lo es $\int f'^2$

Question

$f$ es diferenciable de segundo orden en $[0,+\infty)$ . Y $\int_0^\infty f^2$ y $\int_0^\infty f''^2$ es convergente. Demostrar que $\int_0^\infty f'^2$ es convergente.

Puedo probar el caso de que $f$ y $f''$ es monótona. En este caso $f \rightarrow 0$ y $f'' \rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow +\infty$ . Por lo tanto, $$\int f'^2 \mathrm{d}x = \int f' \mathrm{d}f = f'f|_0^\infty - \int ff''\mathrm{d}x$$

y

$$\int ff'' \le (\int f^2 )^{\frac{1}{2}} (\int f''^2)^{\frac{1}{2}}$$ en convergente, también lo es $\int f'^2$ .

Pero no sé cómo hacer en el caso general.

Answer 1

$|ff^{\prime\prime}|\leq f^2+{f^{\prime\prime}}^2$ para que $ff^{\prime\prime}$ es integrable. Pero una integración por partes da $$\int_a^b{f^\prime}^2=\left[ff^\prime\right]_a^b-\int_a^bff^{\prime\prime}$$ Así, ${f^\prime}^2$ es integrable si $ff^\prime$ tiene límites finitos en $\pm\infty$ .

Si ${f^\prime}^2$ no es integrable en $\mathbb R_+$ entonces $\int_{0}^{+\infty}{f^\prime}^2=+\infty$ para que $ff^\prime\to_{+\infty}+\infty$ . Entonces, $ff^\prime(x)\geq 1$ para $x\geq x_0$ Así que $\frac12(f^2(x)-f^2(x_0))\geq x-x_0$ lo que contradice el hecho de que $f^2$ es integrable. Así que, ${f^\prime}$ es integrable en $\mathbb R_+$ . El mismo argumento muestra que también es integrable en $\mathbb R_-$ por lo que es integrable en $\mathbb R$ .