Encontrar una Fórmula Explícita para una Serie Geométrica

Question

CONTEXTO: Uni pregunta hecha por el profesor

Si usted tiene que tomar una $100$mg medicamento cada $8$ horas, y justo antes de tomar el medicamento, $20$% de ella permanece en su cuerpo, ¿cómo se escribe una fórmula explícita para esto?

Me he dado cuenta de que el recurrente fórmula sería para los números enteros $n\ge0$ donde $Q_0=100$, he a$Q_{n+1}=0.2Q_n+100$ donde $Q_n$ es la cantidad de la droga en el cuerpo justo después de la $n$th dosis se toma.

Mi profesor nos dio una pista diciendo que la solución implica serie geométrica, pero no estoy seguro de cómo esto puede ser el caso, dado que la definición recursiva he desarrollado consiste en un agregado constante de $100$.

La definición explícita es la de ser utilizado para encontrar la cantidad de la droga que quedan en el cuerpo en el largo plazo (que sería lo que la serie converge a).

Answer 1

Imaginar construyendo de forma iterativa, en general factorizando $100$ siempre que sea posible: usted debe obtener,

• $Q_1 = 100$
• $Q_2 = 0.2 Q_1+ 100 = 0.2 \cdot 100 + 100 = 100(1+0.2)$
• $Q_3 = 0.2Q_2 + 100 = 0.2(100(1+0.2)) + 100 = 100(1+0.2+0.2^2)$
• $Q_4 = 0.2Q_3 + 100 = 100(1+ 0.2 + 0.2^2 + 0.2^3)$

A continuación, visiblemente, en general,

$$Q_n = 100 \sum_{k=0}^{n-1} 0.2^k$$

Esto puede ser simplificado con la fórmula de una serie geométrica finita.

Answer 2

Buen trabajo hasta el momento: la recursividad que has escrito es exactamente correcto. En realidad se puede encontrar la cantidad de medicamento que queda en el cuerpo a largo plazo el uso de este y nada más. A saber, el aviso de que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} Q_{n+1} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} Q_n = L$ para algunos $L \in \mathbb{R}$, siempre que este límite exista verdaderamente$^\dagger$. Por lo tanto, teniendo un límite a ambos lados de la ecuación se obtiene:

$$L = 0.2L + 100$$

La solución para $L$, nos encontramos con $L = 125$, lo que concuerda con los resultados experimentales y Eevee del método de la serie geométrica.

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$^\dagger$Puede justificar que el límite existe, aplicando el teorema de convergencia monótona después de mostrar que la secuencia es tanto el aumento y bordeada por encima.

Answer 3

Podemos utilizar funciones de Generación para resolver la relación de recurrencia. De hecho, poner $$ Q(z)=\sum_{n=0}^\infty Q_{n}z^n\tag{0} $$ (converge en un pequeño barrio de el origen por la relación de recurrencia), de modo que la recurrencia $$ Q_{n+1}=0.2Q_n+100;\quad Q_0=100 $$ implica que $$ \frac{P(z)-100}{z}=0.2 P(z)+\frac{100}{1-z}. $$ Resolver para $Q(z)$ para conseguir que $$ Q(z)=\frac{100}{(1-z)(1-0.2 z)}=100\times\frac{1}{1-z}\times \frac{1}{1-0.2 z}\etiqueta{1}. $$ En este punto, se puede proceder a la utilización parcial de la fracción de expansión o podemos utilizar la convolución. En general, si $$ A(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n;\quad B(z)=\sum_{n=0}^\infty b_nz^n $$ entonces $$ A(z)B(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)z^n \etiqueta{2}. $$ De $(1)$ puesto $(1-z)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty z^n=B(z)$ e $(1-0.2z)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty 0.2^n z^n=A(z)$ a $(2)$ así que $$ \frac{1}{1-z}\times \frac{1}{1-0.2 z}=\sum_{n=0}^\infty\left( \sum_{k=0}^n (0.2)^k \right)z^n $$ de dónde $$ Q(z)=\sum_{n=0}^\infty Q_{n}z^n=100\times\frac{1}{1-z}\times \frac{1}{1-0.2 z}=\sum_{n=0}^\infty\left( 100\sum_{k=0}^n (0.2)^k\right)z^n. $$ Así $$ Q_n=100\sum_{k=0}^n (0.2)^k\quad (n\geq 0). $$