Es cerrado, acotado y convexo subconjunto versión de Shauder-Tychonoff Teorema de Punto Fijo, en realidad, en la literatura?

Question

En 1930, J. Schauder extendido Brouwer del trabajo arbitraria de espacios de Banach indicando el teorema;

Punto Fijo de Schauder Teorema: Vamos a $K\subset E$ ser un compacto conjunto convexo donde $ E $ es de Banach y $ T :\,K\longrightarrow K $ un mapa continuo. A continuación, $ T $ tiene un punto fijo.

Sin embargo, hay otro punto fijo llamado teorema de Shauder-Tychonov Teorema de Punto Fijo, estados como esta;

Shauder-Tychonoff Teorema de Punto Fijo: Vamos a $E$ ser un espacio de Banach y $K\subset E$ ser un no-vacío, cerrado, acotado y convexo conjunto. Supongamos que $T:K\longrightarrow K$ es totalmente continua, entonces existe $x^*\in K\;\text{such that} \;Tx^*=x^*.$

He intentado todo lo mejor de mi para conseguir este papel. No sé cual de los autores realmente escribió el teorema. Varios de los documentos que he encontrado son engañosas.

Pregunta: ¿Puede alguien por favor, me lleva directamente a un enlace en el papel exacto donde Shauder-Tychonoff Punto Fijo Teorema se deriva? Lo necesito para mi revisión de la literatura. Gracias.

Answer 1

El deseado teorema no es cierto en toda esta generalidad. Aquí es un contraejemplo:

El derecho de cambio de operador $R$ a $l^1(\mathbb N)$ es completamente continuo (debido a la propiedad de Schur $l^1$). Ahora defina $T$como $$ Tx = ( 1- \|x\|_{l^1} , Rx). $$ A continuación, $T$ es completamente continuo, elementos de mapas de la unidad cerrada de la bola de la bola unidad cerrada, pero no tiene punto fijo: La imagen de $T$ es el límite de la bola unidad cerrada. Si $x$ sería un punto fijo de $T$, entonces por la definición de $R$, $x$ es una constante de la secuencia. Sin embargo, la frontera de la unidad de la bola no contiene una constante de la secuencia.