Primaria de la Prueba Relativa a las Ternas Pitagóricas

Question

Por favor me pueden obtener algunos comentarios sobre la exactitud y la calidad general de la siguiente prueba, que tiene la intención de mostrar que todas las ternas Pitagóricas contener enteros únicos.

Para Probar: todas las ternas Pitagóricas contener enteros únicos.

Primero tomamos nota de que, en un ángulo recto de un triángulo, si $c$ es la hipotenusa y $a,b$ son el resto de los lados, $c > a$ e $c > b$ por el triángulo de la desigualdad. Ahora queda por demostrar que

$\forall (a,b,c) \in \mathbb{N}$, donde $a^2+b^2=c^2$, $a \ne b$

Utilizamos contradicción.

Suponga que $a = b$. Luego tenemos a $a^2 + a^2 = c^2$

Por lo tanto, $c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Desde un múltiplo entero de un número irracional sigue siendo irracional, $c \notin \mathbb{N}$, lo cual es una contradicción de nuestra hipótesis original.

Por lo tanto, $a \ne b$

Desde $a \ne b$ e $c > a$ e $c > b$,

$a,b,c$ son distintos los números enteros y el teorema está demostrado.

$\square$

Answer 1

Creo que la prueba parece funcionar bien. Sin embargo, tal vez vale la pena mencionar al afirmar que "un número entero múltiplo de un número irracional sigue siendo irracional", lo que excluye el caso en que ese entero es igual a cero. Obvio, pero vale la pena mencionar de rigor. Tal vez el estado en el principio de que $a,b,c$ son enteros positivos.

La única otra cosa que creo que se podría hacer más claro es la forma de saber que $c>a$ e $c>b$. El triángulo de la desigualdad en realidad dice que $a + b \geq c$ (o $a+b>c$ si se excluye a degenerar triángulos), así que quizás deberías dar un par de pasos más para mostrar cómo llegar a su conclusión.

Answer 2

Yo diría que eres la prueba está bien!

Sólo hay una afirmación que me gustaría cambiar.

$c>a$ e $c>b\:$ por la desigualdad de triángulo.

Sin embargo, la desigualdad de triángulo simplemente indica que la desigualdad de $$a+b>c$$ es cierto para todas sus permutaciones...

Me gustaría escribir en su lugar

$$c=\sqrt{a^2+b^2}>\sqrt{a^2+0}=a\iff c>a$$

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Usted también puede querer ser más riguroso y demostrar la afirmación de

Dado un número entero [distinto de cero-]múltiplo de un número irracional sigue siendo irracional...

Usted puede, por ejemplo, el uso de contradicción de nuevo.

Deje $x\in\Bbb N, y\in\Bbb R\setminus \Bbb Q$ y supongamos que para algunos $z\in\Bbb Q$ tal que $z=\frac pq$ (recordemos que la definición de racional) $$x\cdot y=z\iff y=\frac{p}{qx}$$ que es una contradicción, ya que los números irracionales no se pueden expresar como una fracción entre enteros...