Para $p>0$, ¿cuándo converge esta integral: $\int_0^{\infty} x^pe^{-x^8\sin^2x}dx$?

Question

Para $p>0$ encontrar el rango de valores de $p$, que hace que esta integración: $\displaystyle\int_0^{\infty} x^pe^{-x^8\sin^2x}dx$ converja.

Intenté dividir $(0,\infty)$ en $(n\pi,(n+1)\pi)$, pero tuve dificultades para estimar $\displaystyle\int_0^{\pi} (x+n \pi)^pe^{-(x+n \pi)^8\sin^2x}dx$

Mi profesor dice que es $O(n^{p-4})$, pero creo que está equivocado.

Answer 1

CONSEJO:

Usando $2x/\pi\le\sin(x)\le x$ para $x\in [0,\pi/2]$, podemos afirmar que

$$\begin{align} \int_0^{\pi/2} (x+n\pi)^pe^{-(x+n\pi)^8\sin^2(x)}\,dx&\le (\pi/2+n\pi)^p\int_0^{\pi/2} e^{-(n\pi)^8(2x/\pi)^2}\,dx\\\\ &\le (\pi/2+n\pi)^p\int_0^\infty e^{-4n^8\pi^6x^2}\,dx\\\\ &=\frac{(n+1/2)^p\pi^p}{4\pi^{5/2}n^4}\\\\ &=O\left(n^{p-4}\right) \end{align}$$

como $n\to \infty$.

¿Puedes terminar ahora?

Answer 2

Cláusula de responsabilidad: No temas a las constantes. Salen naturalmente y no es necesario tenerlas explícitamente.

Dado que preguntaste por los valores de $p>0$ para los cuales la integral converge, te mostraré que la integral converge si-y-solo-si $0. Al hacerlo, tendré que probar la estimación de tu profesor en algún momento. Empezamos con

$$\int_{0}^{+\infty}x^pe^{-x^8{(\sin x)}^2}dx=\int_0^{\pi}x^pe^{-x^8{(\sin x)}^2}dx + \sum_{n\geq1}\int_{0}^{1}(x+n\pi)^pe^{-(x+n\pi)^8(\sin x)^2}dx+\\\sum_{n\geq1}\int_{1}^{\pi-1}(x+n\pi)^pe^{-(x+n\pi)^8(\sin x)^2}dx.\ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

En la primera integral, la integranda es continua en $[0,\pi].$ Por consiguiente, la integranda está acotada allí y así, la integral mencionada es finita. Esto significa que la integral del lado derecho no afectará la respuesta a nuestro problema. A continuación, mostramos que la segunda serie es convergente. En el intervalo $[1,\pi-1]$ tenemos que $(\sin x)^2\geq (\sin 1)^2=:c>0.$ Además, es claro que $(x+n\pi)^8>n^8\geq n$ para $n\geq 1$ y $x>0.$ Así que,

$$e^{-(x+n\pi)^8(\sin x)^2}

en las integrales de la segunda serie. Para un entero positivo $n$ y un $x\in [1,\pi-1]$ tenemos que

$$x+n\pi<\pi(n+1)\leq 2\pi n=\frac{4\pi}{c}\cdot\frac{nc}{2}<\frac{4p\pi}{c}e^{\frac{nc}{2p}}.$$

Por lo tanto, $(x+n\pi)^p<(4p\pi/c)^pe^{\frac{nc}{2}}$ para enteros positivos $n$ y $x\in [1,\pi-1].$ Combinamos esta desigualdad con $(1)$ y concluimos que la segunda serie está acotada por arriba por

$$\left(\frac{4p\pi}{c}\right)^p(\pi-2)\sum_{n\geq 1}\left(e^{-\frac{c}{2}}\right)^n=\left(\frac{4p\pi}{c}\right)^p\frac{(\pi-2)e^{-c/2}}{1-e^{-c/2}}<+\infty.$$

Por supuesto, una serie de términos positivos, que está acotada, converge. Entonces, la segunda serie de $(*)$ es, de hecho, convergente. Esto significa que la respuesta a nuestro problema depende únicamente del comportamiento de la primera serie de $(*)$. En $[0,1]$ (y más generalmente en $[0,\pi/2]$ al observar los gráficos) es cierto que $\sin x\geq \frac{2}{\pi}x\geq 0$. Como resultado, para $x\in [0,1]$ y $n\geq 1$ obtenemos

$$(x+n\pi)^pe^{-(x+n\pi)^8(\sin x)^2}\leq (1+n\pi)^pe^{-\frac{4}{{\pi}^2}n^8x^2}<5^pn^pe^{-c'n^8x^2},$$

donde $c':=4/{\pi}^2>0.$ Por consiguiente, la primera serie de $(*)$ está acotada por arriba por

$$5^p\sum_{n\geq 1}n^p\int_{0}^{1}e^{-c'n^8x^2}dx=\frac{5^p}{\sqrt{c'}}\sum_{n\geq 1}n^{p-4}\int_{0}^{\sqrt{c'}n^4}e^{-u^2}du\leq \frac{5^p\sqrt{\pi}}{2\sqrt{c'}}\sum_{n\geq 1}n^{p-4}.$$

En el último paso acotamos todas las integrales por la mitad de la integral Gaussiana. Además, $|\sin x|\leq |x|$ y por lo tanto,

$$(x+n\pi)^pe^{-(x+n\pi)^8(\sin x)^2}>{\pi}^pn^pe^{-(1+n\pi)^8x^2}>{\pi}^pn^pe^{-c''n^8x^2}$$

para $c'=5^8>0,\ x\in [0,1]$ y $n$ un entero positivo. Por lo tanto, deducimos que la primera serie de $(*)$ está acotada por abajo por

$${\pi}^p\sum_{n\geq 1}n^p\int_{0}^{1}e^{-c''n^8x^2}dx=\frac{{\pi}^p}{\sqrt{c''}}\sum_{n\geq 1}n^{p-4}\int_{0}^{\sqrt{c''}n^4}e^{-u^2}du\\ \geq \frac{{\pi}^p}{\sqrt{c''}}\left(\int_{0}^{\sqrt{c''}}e^{-u^2}du\right)\sum_{n\geq 1}n^{p-4}.$$

La integral al final es finita, ya que tiene un intervalo de integración finito y su integrando está acotado por $1$. En resumen, la serie $\sum_{n\geq 1}n^{p-4}$ difiere solo por una constante de la primera serie del lado derecho de la primera igualdad. Dado que esa serie determina la convergencia de nuestra integral, deducimos que la integral inicial converge si-y-solo-si la serie $\sum_{n\geq 1}n^{p-4}$ converge. Pero, esto se sabe. Así, la integral de tu pregunta converge si-y-solo-si $0