Estoy tratando de entender por qué la presión para el proceso adiabático es dada de un gas ideal como la siguiente.
$$ p = - \frac{\partial E}{\partial V} (V, X_1, ..., X_k) $$
donde $p$ es la presión, $E$ es el total de energía interna del gas y de los $V$ es el volumen, y $X_i$ son algunos de los parámetros en que $E$ podría dependen.
Para este modelo he de elegir una de dos dimensiones del problema en el que yo considero el cuadro de $N$ partículas de gas ideal inicialmente en el cuadro de tamaño de $a$ veces $L$. Supongo que debido a la potencial efectivo de estos $N$ partículas se están confinados dentro de este cuadro (potencial podría ser, por ejemplo, $0$ dentro de la caja y modelado por algunos parabólico potencial donde puedo permitir el coeficiente de la potencial tienden a infinito). También asumo que una de las paredes de la caja se sustituye por un pistón que es un objeto macroscópico que consta de $M$ mandantes.
Mi Hamiltoniano para el sistema, a continuación, es el elegido para ser el siguiente. Deje $p = (p_1, ..., p_N)$ ser $p \in \mathbb{R}^{3N}$ vector de impulso de las moléculas de gas, $P = (P_1, ..., P_M)$ ser $P \in \mathbb{R}^{3M}$ impulso vector de componentes del pistón. Deje $q, Q$ ser respectivas coordenadas de los vectores de gas y el pistón.
$$ H_{total} = H_{gas} (q,p) + H_{piston}(Q,P) + H_{interaction}(q,p,Q,P) $$
En este caso, creo que el modelo está siendo adiabático porque me estoy descuidando todas las posibles influencias con otros objetos, excepto la que se supone que transmite el trabajo.
La fuerza sobre el pistón $F_{piston}$ es el dado por el siguiente:
$$ F_{pistón} = \frac{d}{dt} (\sum \limits_{i=1}^M P_i) = -\sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{total}(q,p,Q,P)}{\partial Q_i} = $$ $$= -\sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{piston}(Q,P)}{\partial Q_i} -\sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{interaction}(q,p,Q,P)}{\partial Q_i}$$
Ahora, si asumimos que la seguridad interna de potencial entre los componentes del pistón es de la forma $U(|Q_i - Q_j|)$ , entonces creo que usted puede mostrar lo siguiente.
$$ \sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{piston}(Q,P)}{\partial Q_i} = 0 $$
En ese caso tenemos que la fuerza sobre el pistón es el siguiente.
$$F_{piston} = -\sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{interaction}(q,p,Q,P)}{\partial Q_i}$$
Supongo que para hacer fuerza lo suficientemente agradable comportarse tenemos que el promedio de los términos de interacción durante algún tiempo, lo que es más pequeño en escala, que el macroscópica de la dinámica del pistón, pero más grande que la escala de tiempo en el cual la fuerza debido a las partículas de los gases no parece suficientemente constante. En ese caso, si por $\langle, \rangle$ uno denota un promedio en el tiempo, tenemos la siguiente.
$$F_{piston} = - \langle \sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{interaction}(q,p,Q,P)}{\partial Q_i} \rangle$$
En termodinámica, como se mencionó anteriormente, por lo que puedo entender la definición de la presión en mis variables es algo como esto y se relaciona con el cálculo anterior de la siguiente manera.
$$ p = -\frac{\partial H_{gas}}{\partial V} = \frac{1}{L} \left( - \langle \sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{interaction}(q,p,Q,P)}{\partial Q_i} \rangle \right) $$
Primero de todo, no entiendo cómo interpretar el hecho de que $H_{gas}$ es una función de volumen cuando microscópica de la imagen no lo es. También, no entiendo en qué tipo de argumentos de las dos cosas mencionadas anteriormente para la presión de acuerdo. Debo hacer más modelado en un sentido asumir alguna forma de $H_{interaction}$ ?
Creo que uno podría suponer que fenomenológicamente promedio de la interacción depende del volumen en el sentido de que la siguiente fórmula sostiene.
$$ - \langle \sum \limits_{i=1}^M \frac{\partial H_{interaction}(q,p,Q,P)}{\partial Q_i} \rangle \approx f(V) $$
Pero incluso si asumimos esto efectiva de la teoría es que todavía no me queda claro cómo se llega a la conclusión o se aproxima a lo que la presión está relacionada con el cambio de la energía interna de las moléculas de gas. En un sentido, no entiendo la siguiente ecuación.
$$ p = -\frac{\partial H_{gas}}{\partial V} = \frac{1}{L} f(V)$$
Por favor, hágamelo saber lo que piensa acerca de esto y yo aprecio mucho eso!
