Clásica pullbacks componer, como es fácil de comprobar con el universal de la propiedad. Más precisamente, si $\requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> B\\ @VVV @VVV\\ C @>>> D \end{CD}$ y $\requieren{AMScd} \begin{CD} B @>>> E\\ @VVV @VVV\\ D @>>> F \end{CD}$ are pullback diagrams, then so is $\requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> E\\ @VVV @VVV\\ C @>>> F \end{CD}$.
Me preguntaba si esto era cierto para homotopy pullbacks, y si es así, con qué nivel de generalidad.
Por ejemplo, si usted toma el modelo habitual para homotopy pullbacks en $\mathbf{Top}$, usted puede conseguir de una forma muy concreta homotopy la equivalencia entre los dos homotopy pullbacks.
También si usted tiene un modelo de estructura en la que, para calcular homotopy pullbacks es suficiente para reemplazar un mapa por un fibration y, a continuación, tomar la costumbre de retirada, entonces usted puede mostrar mediante la comprobación de propiedades universales que esto todavía funciona (me dijeron que tal vez algo como "si usted tiene un Reedy modelo de estructura en $C^I$ entonces funciona" iba a funcionar -pero yo no sé lo que significa todavía)
Así que la mayoría de los generales de configuración que puedo pensar, de hacer sentido de la pregunta es : tenemos un homotopical categoría $(C,W)$ (es decir, una categoría $C$ con una amplia subcategoría de la debilidad de equivalencias, la satisfacción de las 2-out-of-3 o 2-out-of-6 de la propiedad) y nuestro diagrama categoría $I=\requieren{AMScd} \begin{CD} &&\bullet\\ & @VVV\\ \bullet @>>> \bullet \end{CD}$ and then $C^I$ is also a homotopical category with pointwise weak equivalences; and we assume $\lim : C^I\a C$ has a right derived functor $\mathbb{R}\lim : C^I\a C$ (with Riehl's terminology in Categorical homotopy theory), then we call $\mathbb{R}\lim (\requieren{AMScd} \begin{CD} && B\\ & @VVV\\ C @>>> D \end{CD})$ a homotopy pullback of $B,C$ over $D$.
Parece que con este nivel de generalidad, no puedo conseguir un mapa de la homotopy pullback a sus componentes (o al menos yo no veo cómo) : tengo un mapa en $\mathrm{Ho}(C)$ por la característica universal de la Kan extensión y por ver a los componentes como homotopical functors $C^I\to C$, pero este mapa es un a priori sólo un zigzag de mapas en $C$; así, en primer lugar para la pregunta para hacer sentido tenemos que encontrar un lugar en el que nos hacer ser honesta mapas de la homotopy pullback a sus componentes, es decir, en los mapas de $C$.
Yo no veo cómo conseguir que así :
¿Cuáles son algunas de las condiciones naturales que podemos imponer sobre la situación para obtener natural mapas en $C$ desde el homotopy pullback a los componentes del diagrama ? Natural de los ascensores de la transformación natural $\delta\mathbb{R}\lim \implies \delta\pi$ donde $\delta : C\to \mathrm{Ho}(C)$ es la localización functor, y $\pi$ es cualquiera de los componentes del diagrama" functors ?
Una vez que tenemos estas condiciones se puede frase a nuestra pregunta :
hacer homotopy pullbacks componer ? Más precisamente, si tenemos dos homotopy retirada de diagramas como en el principio de esta pregunta, con mapas de la $B\to E, D$ e $A\to B,C$ natural mapas inducida por las condiciones; cuando hay un isomorfismo en $\mathrm{Ho}(C)$ de $A$ a la homotopy retroceso de $E,C$ sobre $F$ hacer la obvia diagrama de viaje ? Cuando es este isomorfismo (o su inverso) un mapa en $C$ ?
EDIT : a Ver Pece la respuesta de otro formulación de la pregunta: también voy a aceptar respuestas que responder a esa otra formulación.
