Número mínimo de elementos necesarios para una media determinada

Question

Digamos que a algo se le puede dar una puntuación del 1 al 10 (sólo números enteros). Cuando veamos una valoración como 7.00 normalmente parece que fue el resultado de una sola valoración (podría ser el resultado de cualquier número de valoraciones, pero podría ser una sola valoración). De la misma manera, 4.50 podría calcularse a partir de sólo dos calificaciones, pero no a partir de sólo una.

¿Hay alguna forma de obtener ese número mínimo para una media determinada? (Es decir 9.43 )

Answer 1

Si hay redondeo, entonces necesitas usar fracciones continuas para encontrar racionales con denominador pequeño cerca del decimal dado.

Para usar tu ejemplo: $9.43=\{9;2,3,14\}$ y los convergentes son $\{9,\frac {19}2,\frac {66}7,\frac {943}{100}\}$ . Los dos primeros están fuera, pero $\frac {66}7=9.428571429\cdots $ que redondearía a $9.43$ así que la respuesta es $7$ . (De hecho, confirmamos que las valoraciones de $(10,10,10,10,10,10,6)$ tienen una media de $\frac {66}7$ ).

Como algoritmo general, escribe los convergentes y prueba cada uno para ver si redondea al decimal deseado bajo cualquier esquema de redondeo que estés utilizando. Ve en orden, ya que puedes parar la primera vez que el redondeo funcione.

Nota al margen: esto ocurre todo el tiempo en el béisbol. Si ves a un bateador con un $750$ media, puedes estar seguro de que ha bateado muy poco. Mucho más difícil si el promedio es $281$ digamos. Para ese ejemplo, usamos el algoritmo para ver que $.281\approx \frac 9{32}$ por lo que el bateador podría haber tenido tan poco como $32$ al bate, pero no menos.