Si$f,g: [a,b] \to \mathbb{R}$ está delimitado con$g$ continuo y$f>g$, ¿hay un continuo$h:[a,b] \to \mathbb{R}$ con$f>h>g$?

Question

Es la siguiente afirmación verdadera:

Deje $f,g :[a,b] \to \mathbb{R}$ ser delimitadas las funciones de con $g$ continua e $f>g$. Entonces existe una función continua $h: [a,b] \to \mathbb{R}$, de tal manera que $f>h>g$.

Sólo estoy interesado en saber si es o no la afirmación es verdadera o no, así que por favor deje la prueba para mí de si la afirmación es verdadera. Sin embargo, si la afirmación es falsa, les doy la bienvenida contador de ejemplos! Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

La afirmación es falsa. Considere cualquier intervalo $[a,b]$ de longitud distinta de cero y defínalo en él

PS

y

$$ f (x) = \begin{cases} 1, & \text{ if } x \notin \mathbb Q \\ 1, & \text{ if } x =0 \\ \frac1q, & \text{ if } x =\frac{p}q;p,q\in \mathbb Z, q>0, p\neq 0, \gcd(p,q)=1. \\ \end {casos} $$

Answer 2

Puedes tomar un ejemplo similar al de tu otra pregunta :