Lema 1: Una de las tres declaraciones siguientes es verdadera:
- $\lim_{x \uparrow 1} f(x)=\infty$ a.s.
- $\lim_{x \uparrow 1} f(x) = - \infty$ a.s.
- $\limsup_{x \uparrow 1} f(x) = \infty$ e $\liminf_{x \uparrow 1} f(x) = -\infty$ a.s.
Prueba: Denotar por $\mu$ la distribución de $\limsup_{x \uparrow 1} f(x)$, es decir,
$$\mu(B) := \mathbb{P} \left( \limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n x^n \in B \right).$$
Si ponemos
$$\tau := \inf\{N \in \mathbb{N}; \sum_{n=1}^N \epsilon_n = 1\}$$
a continuación, $\tau< \infty$ casi seguramente y
$$\xi_n := \epsilon_{n + \tau(\omega)}, \qquad n \geq 1$$
define una secuencia de iid variables aleatorias de Bernoulli. En particular, $(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es igual en la distribución de $(\epsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$, y así
$$\mu(B) = \mathbb{P} \left( \limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n x^n \in B \right) \tag{1}$$
para todos los $B$. Por otra parte, hemos
\begin{align*} \limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n =1}^{\infty} \xi_n x^n &= \limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n=\tau+1}^{\infty} \epsilon_n x^n \\ &= - \sum_{n=1}^{\tau} \epsilon_n + \limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n x^n \\ &= -1 + \limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n x^n. \end{align*}
La combinación de este con $(1)$ tenemos
$$\mu(B) = \mu(B+1)$$
para cualquier conjunto de Borel $B$. La única finito medida en $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ que es invariante bajo (no trivial) traducciones es la trivial medida, y por lo tanto llegamos a la conclusión de que $\mu(\mathbb{R})=0$. El mismo razonamiento se trabaja para $\liminf_{x \uparrow 1} f(x)$ (debido a la simetría), y esto termina la prueba del lema.
Lema 2: $\limsup_{x \uparrow 1} f(x) = \infty$ e $\liminf_{x \uparrow 1} f(x)= - \infty$ casi seguramente.
Prueba: La secuencia de $(-\epsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es igual en la distribución de $(\epsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$, y por lo tanto las variables aleatorias
$$\limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n =1}^{\infty} \epsilon_n x^n$$
y
$$\limsup_{x \uparrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} (-\epsilon_n) x^n = - \liminf_{x \uparrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n x^n$$
tienen la misma distribución. Ahora, la afirmación sigue por el Lema 1.
Corolario: $f$ tiene una infinidad de ceros en $(0,1)$ con una probabilidad de $1$.
Prueba: Como ya se ha señalado en el OP, es suficiente para mostrar que para cualquier $c \in (0,1)$ existe con una probabilidad de $1$ algunos $x^* \in (c,1)$ tal que $f(x^*)=0$. Fix $c \in (0,1)$. Por el Lema 2, podemos encontrar (con una probabilidad de $1$) algunas de las $x_1 \in (c,1)$ e $x_2 \in (c,1)$ tal que $f(x_1)>1$ e $f(x_2)<-1$. Desde $f$ es continua en a$(0,1)$ esto implica, por el teorema del valor intermedio, que no existe $x^* \in (x_1,x_2) \subseteq (c,1)$ tal que $f(x^*)=0$.
Comentario: En este artículo , usted puede encontrar algunos de los más declaraciones generales sobre el comportamiento de la serie aleatoria.
