Sustituciones$A$ de$\mathbb{F}_p[x]$ tales que$\dim_{\mathbb{F}_p}\mathbb{F}_p[x]/A=1$.

Question

Supongamos que tenemos el anillo de $\mathbb{F}_p[x]$ de polinomios con coeficientes en el campo de Galois con $p$ primer número de elementos. Quiero encontrar todos los subrings $A$ que contiene la identidad de tal forma que cuando se consideran como espacios vectoriales sobre $\mathbb{F}_p$, el cociente $\mathbb{F}_p[x]/A$ es isomorfo a $\mathbb{F}_p$. También quiero encontrar el isomorfismo de las clases de estos anillos.

Hasta ahora sólo he sido capaz de encontrar un sub-anillo: el anillo generado por $1,x^2,x^3$. Sé que si $x\in A$, a continuación, $A=\mathbb{F}_p[x]$, por lo que no quiero $n\cdot x$ a en $A$. Después de esto, tratando de encontrar otros subrings, se hace realmente complicado desde mi punto de vista. Así que no creo que esta podría ser una buena manera de abordar el problema.

También me parece que podemos ver esto como un problema con la extensión: $$0\rightarrow A\rightarrow \mathbb{F}_p[x]\rightarrow\mathbb{F}_p\rightarrow 0$$ Y para los grupos, sé que el uso de la segunda homología grupo, sería de ayuda si me recibieron $Q$ e $N$ pero no $G$ en la siguiente secuencia: $$0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow Q\rightarrow 0$$ Mis preguntas son si hay un método estándar para calcular $N$ da $G$ e $Q$, y si estos métodos generalizar anillo extensiones? Cualquier ayuda se agradece, especialmente las referencias a la literatura.

Answer 1

Construir sobre las ideas de Dirk de la respuesta (+1) y Arthur el comentario de debajo de la pregunta.

La sub-anillo $A$ no puede contener un polinomio de grado $1$ porque, como $\Bbb{F}_p$-álgebra, que contendría $x$ e ser igual a $\Bbb{F}_p[x]$. Dirk se ha señalado, esto implica que $\Bbb{F}_p[x]=A\oplus x\Bbb{F}_p$, y, en consecuencia, existen único constantes $a_2$ e $a_3$ tales que $$ P=x^2-a_2x, Q=x^3-a_3x\en A. $$ Es sencillo comprobar que estos polinomios satisfacen la relación $$ Q^2=P^3+3a_2PQ-2a_3P^2+(a_2^3-a_2a_3)Q+(a_3^2-a_2^2a_3) P. (*) $$ Dicha relación ha de existir debido a que el espacio de polinomios de grado $\le6$ en $A$ y de fuga en $x=0$ tiene dimensión de cinco, por lo que el conjunto de seis polinomios $P^3,Q^2,QP,P^2,Q,P$ debe ser linealmente dependiente. Encontrar la relación que entonces era simple álgebra lineal.

La ecuación de $(*)$ implica que el $\Bbb{F}_p[P]$-módulo de $$ \tilde{A}=\Bbb{F}_p[P]+P\Bbb{F}_p[P] $$ es en realidad un sub-anillo. El punto principal es que $(*)$ demuestra que $\tilde{A}$ es estable bajo la multiplicación por $Q$.

De ello se deduce fácilmente que el conjunto $$ \mathcal{B}=\{P^i\a mediados de i\en\Bbb{N}\}\cup\{QP^i\a mediados de i\en\Bbb{N}\} $$ es una $\Bbb{F}_p$-base para $\tilde{A}$. Debido a que la colección de $\mathcal{B}$ ha monic polinomios de grados $0,2,3,4,\ldots,$ se sigue que $\tilde{A}$ ha codimension uno en $\Bbb{F}_p[x]$.

Obviamente $\tilde{A}\subseteq A$ lo que podemos concluir que $A=\tilde{A}$. Igualmente, obviamente, distintas opciones de $a_2,a_3$ dar lugar a distintos subespacios $\tilde{A}$, por lo que llegamos a la respuesta:

Cada una de estas subgring $A$ está determinada por dos parámetros $a_2,a_3\in\Bbb{F}_p$ cuando el anillo de $A$ es generado por $x^2-a_2x$ e $x^3-a_3x$. Diferentes opciones para los parámetros que dan lugar a diferentes subrings $A$.

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Un par de palabras de clausura:

• Dirk estaba definitivamente en el camino correcto. Él puede haber perdido la relación $$P^2+2a_2Q-a_2^2P=x^4+(a_2^3-2a_2a_3)x,$$ that ties his $a_4$ to $a_2$ and $a_3$. Similarly, we can tie all $a_i, i>4$, to $a_2,a_3$.
• Arthur también estaba en el camino correcto, pero falló un par de posibilidades. También, cuando se $p=2$, todos los monomials $(x-a)^2$ lineal coeficiente de cero, por lo que tenemos más. Particularmente como...
• ... el argumento parece generalizar a otros campos que no prime campos de una característica positiva.

Answer 2

Como todos los poderes de $x$ son linealmente independientes, la única oportunidad de obtener lo que se desea es tener todos, pero un poder de $x$ contenida en su anillo de $A$, además de tal vez más bajo los términos de orden. Sin embargo, si su anillo de $A$ contiene $x$, entonces también contiene $x^2,x^3$, etc., por lo que es directamente la totalidad de $\mathbb{F}_p[x]$. Por lo tanto, $A$ no puede contener $x$.

Pero eso significa que $A$ debe contener elementos $y_i = x^i + a_ix$ para todos los $i \geq 2$, donde $a_i \in \mathbb{F}_p$. Por otro lado, cada elección de tales elementos $y_i$ le dará un anillo de $A$ con las propiedades deseadas. Ahora creo que cada elección de la secuencia de $(a_i)_{i \geq 2}$ le dará una diferente, no isomorfos (como suena) versión de $A$, pero podría ser mejor si usted comprueba correctamente.