Interpretación física de eliminar el componente real al derivar el principio de incertidumbre

Question

He estado trabajando en algunos problemas de teoría de la información cuántica y he vuelto a visitar Mecánica Cuántica de Griffiths. En la página 109, él deriva el principio de incertidumbre. Él sigue los siguientes pasos:

1. Para los operadores $\hat{A}$ y $\hat{B}$, define : $|f\rangle = ( \hat{A} - \langle \hat{A}\rangle)|\psi\rangle$ y $|g\rangle = (\hat{B} - \langle \hat{B}\rangle)|\psi\rangle$
2. Define varianza : $\sigma^{2}_{A} = \langle f | f\rangle$ y $\sigma^{2}_{B} = \langle g | g\rangle$
3. Invoca la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $\sigma^{2}_{A} \sigma^{2}_{B} = \langle f | f \rangle \langle g | g \rangle \geq |\langle f | g \rangle|^{2}$
4. Define $z$ como un número complejo : $z = \langle f | g \rangle $
5. Utiliza la magnitud de $z$ y descarta la componente real (ver ecuación 3.136) : $|z|^{2} = (\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2} \geq (\text{Im}(z))^{2} = [\frac{1}{2i}(z-z^{*}]^{2}$
6. Solo conserva la componente imaginaria y coloca el resultado de la ecuación 3.136 (paso 5) en el lado derecho de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (paso 3). Me doy cuenta de que al descartar la componente real no está violando su desigualdad en la ecuación 3.135 (paso 3), por lo que puede hacer esto técnicamente. Haciendo matemáticas adicionales de conmutadores, obtiene: $\sigma_A^2\sigma_B^2 \geq \left|\frac{1}{2i} \langle[ \hat{A}, \hat{B}] \rangle\right|^2$

Pregunta:

1. En la derivación de Griffiths, ¿por qué descartó el componente Real? Parece que al hacerlo ya no necesitas saber nada sobre la función de onda. Es decir, no necesitas calcular $\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \hat{A} \rangle$)? Esto haría que las matemáticas sean más fáciles desde este aspecto.

Si conservaras la componente real, parece que tendrías una desigualdad más fuerte. De hecho, Wikipedia da una derivación que produce: $\sigma_A^2\sigma_B^2 \geq \left| \frac{1}{2}\langle\{\hat{A}, \hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle \right|^2+ \left|\frac{1}{2i} \langle[ \hat{A}, \hat{B}] \rangle\right|^2$)

Answer 1

En la derivación de Griffith, ¿por qué descartó la componente Real?

Realmente no es posible conocer la intención de un autor de un libro de texto. Sin embargo, hay varias posibles razones por las que Griffiths eligió derivar la relación de incertidumbre de Robertson en lugar de la relación de incertidumbre de Schrödinger:

• La derivación es más simple, como se puede ver claramente comparando las pruebas. Dado que el libro de texto de Griffiths es de nivel introductorio, se prefieren derivaciones más simples.

• La derivación de la relación de incertidumbre de Robertson no utiliza el anticonmutador, que no se introduce en ese punto en el libro de texto de Griffiths y no es (hasta donde recuerdo) relevante para la mayor parte del material en el resto del libro de texto.

• La relación de incertidumbre de Schrödinger oculta parcialmente una parte particular de la percepción que la relación de incertidumbre de Robertson hace explícita: el papel del conmutador en determinar si los operadores son compatibles con la medición simultánea.

Entonces la siguiente pregunta sería, "¿Por qué Griffiths no derivó ambos, entonces?" La respuesta más probable es que las dos desigualdades contienen básicamente el mismo contenido conceptual: el producto de las incertidumbres en la medición de dos operadores puede, bajo ciertas condiciones, estar restringido a ser superior a algún valor mínimo, y ese valor mínimo involucra el valor esperado del conmutador. (Sospecho que los casos en los que dos operadores conmutan, pero el otro término no es cero, no surgen en un curso introductorio de Mecánica Cuántica).

Parece que al hacerlo, ya no necesitas saber nada sobre la función de onda. Es decir, ¿no necesitas calcular $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle=\langle A\rangle$)?

Pero sí necesitas saber sobre la función de onda. Después de todo, $\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle=\langle\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\rangle=\langle\psi|\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}|\psi\rangle$.