Conjetura: $$\left[n\in\mathbb{Z}^+,z\in\mathbb{C},0=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\left(nk\right)!}\right]\Rightarrow z\in\mathbb{R}$$ Esta conjetura se ha verificado para $n\in\{1,2,4\}$ .
La motivación de esta conjetura surgió durante el estudio de la función suma exponencial que tiene aplicaciones a la exponenciación en anillos con multiplicación abeliana: $$\text{rues}_n\left(z\right)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{nk}}{\left(nk\right)!}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n \exp\left(ze^{2ki\pi/n}\right)$$
Se ha demostrado que los ceros del Función Mittag-Leffler $$E_{\alpha}(z)\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{\Gamma(\alpha n+1)}\quad(\alpha > 0)$$ son reales y negativos siempre que $\alpha\geq 2$ .
Véanse Wiman (1905) y Pólya (1921).
Wiman, A. 1905. " Sobre la anulación de funciones $E_a(x)$ ." Acta Mathematica 29 : 217-34.
Pólya, G. 1921. " Nota sobre las funciones de los minilanzadores $E_a(z)$ ." Revista Matemática de Tohoku Primera serie 19 : 241-48.
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$e^z$ no tiene ninguna raíz y por lo tanto $n=1$ es vacuamente cierto. $0\neq e^{2ki\pi}=1$ .