Estoy solucionar el siguiente problema:
Encontrar el máximo de conjunto abierto, $\Omega,$ donde la siguiente serie converge:
$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{z^n}{2^n(1-z^n)}.$$
Extra: Demostrar que la serie definir un holomorphic de la función en $\Omega.$
Yo a la conclusión de que una posible elección es $\Omega = \mathbb{C} \setminus \partial \mathbb{D}$ haciendo lo siguiente:
- Deje $z \in \bar{B}(0,r)$ con $r < 1.$ sabemos que $|z|\leq r.$ , Además, tenemos que
\begin{align*} |f_n(z)|=\bigg| \frac{z^n}{2^n(1-z^n)} \bigg| &= \frac{|z^n|}{2^n|1-z^n|} \leq \frac{|z^n|}{2^n|1-|z|^n|}\\ &= \frac{|z|^n}{2^n(1-|z|^n)} \leq \frac{r^n}{2^n(1-r^n)} \leq \frac{1}{2^n(1-r^n)} = a_n. \end{align*}
La serie $\sum_{n=1}^\infty a_n < +\infty$ ya que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{1/2^n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-r^n} = 1.$$
Llegamos a la conclusión de que el original de la serie es absolutamente convergente.
- Deje $z \in \mathbb{C} \setminus {B}(0,r)$ con $r > 1.$ por lo tanto $r \leq |z|$ y tenemos que
\begin{align*} |f_n(z)|=\bigg| \frac{z^n}{2^n(1-z^n)} \bigg| &= \frac{|z^n|}{2^n|1-z^n|} = \frac{1}{2^n|1/|z^n|-z^n/|z^n||}\\ &\leq \frac{1}{2^n|1-1/|z^n||} = \frac{1}{2^n(1-1/|z^n|)} \leq \frac{1}{2^n(1-1/r^n)} = b_n. \end{align*}
Como en el anterior, en comparación con los $\sum_{n = 1}^{\infty} 1/2^n$ llegamos a la conclusión de que la convergencia absoluta de la serie original.
El Weierstrass M-criterio nos da la convergencia uniforme de la serie y llegamos a la conclusión de que la serie definir un holomorphic de la función en $\Omega = \mathbb{C} \setminus \partial\mathbb{D}.$
No puedo decidir si la serie converge para algunos $z \in \partial \mathbb{D}$ y espero que alguien me pueda ayudar.
Gracias a todos!
