Deje que$A$ sea una matriz$n*n$ tal que$A^3=A^2+A-I$. Si$A$ es diagonalizable Muestre que$A=A^{-1}$

Question

Deje $A$ ser $n*n$ matriz tal que $A^3=A^2+A-I$.

1. Mostrar que $A$ es invertible
2. Supongamos que en $A$ es diagonalizable. Mostrar que $A=A^{-1}$

Para la primera parte me las arreglé para hacerlo por un reordenamiento, $$I=A^{2}+A-A^{3}=A(A+I-A^2)$$

Por lo tanto $A+I-A^2$ es el derecho a la inversa y simillarly tenemos $A+I-A^2$como la izquierda inversa. Por lo tanto $A$ es invertible.

Pero para la parte 2. Lo que yo era capaz de hacer es:

$A^{-1}=A+I-A^2=A+(PDP^{-1})(PDP^{-1})^{-1}-PD^{2}P^{-1}$.
Pero aquí después no veo cómo debo proceder.

Answer 1

Sugerencia Si $\lambda$ es un valor propio, entonces $$\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=0 \Rightarrow (\lambda-1)^2(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda=\pm 1$ $

¿Qué es entonces $D^2$ ?

Por lo tanto $$A^2=PD^2P^{-1}=??$ $

Answer 2

Supongamos $A$ es diagonalizable, y escribir $A=PDP^{-1}$. Entonces la ecuación se convierte en $PD^3P^{-1}=PD^2P^{-1}+PDP^{-1}-I$, que cuando se multiplica por $P^{-1}$ a la izquierda y $P$ a la derecha, vemos que es equivalente a $D^3=D^2+D-I$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar la diagonal caso.

Deje $D$ diagonales de las entradas de $\lambda_i$ ($1\leq i\leq n$). A continuación, para cada una de las $i$ tenemos la ecuación de $\lambda_i^3-\lambda_i^2-\lambda_i+1=0$ (desde las entradas de la diagonal de las matrices se multiplican directamente), que es equivalente a $(\lambda_i+1)(\lambda_i-1)^2=0$. Ahora, encontrar $\lambda_i$ a resolver para $D$ y, por tanto, $D^{-1}$. Creo que se puede tomar desde aquí.

Answer 3

Observe que $A$ satisface la ecuación de $x^3-x^2-x+1=0$. En el factoring vemos que los valores propios son $1$ e $-1$, donde $1$ es de la multiplicidad $2$. Así que si $A$ es diagonalizable, podemos escribir $A$ como $A=PDP^{-1}$, donde la diagonal de la matriz $D$ está dado por

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Por lo tanto, si calculamos el $D^2$ obtenemos $I$. Por lo tanto, $A^{-1}=A+I-A^2=A+I-(PDP^{-1})^2=A+I-PD^2P^{-1}=A+I-PIP^{-1}=A+I-I=A$.

Answer 4

Pista: consideremos el caso tridimensional, que es inmediato. Luego argumenta que este caso es suficiente considerando el hecho de que $A$ es diagonalizable.