Usa GAP para definir el grupo de Clifford finito

Question

Estoy estudiando el sistema de álgebra computacional BRECHA de hacer algunos cálculos sobre Clifford grupo, que se define (cf. Lawson y Michelsohn, Girar la Geometríade Princeton, 1989) como los siguientes Definición. Vamos a denotar este grupo por $F_n$, de acuerdo con el número de generadores $e_1, e_2, \ldots, e_n$. El grupo puede ser dado $F_n = \, <\;e_1, e_2, \ldots, e_n \,:\; e_j^2 = -1, e_j e_k = - e_k e_j \quad \text{for } k \ne j; 1\leq j, k \leq n \;>.$

Por lo tanto, podemos calcular el orden de este grupo, es igual a $2^{n+1}$. Dado un número $n$, por ejemplo, $n=3 \text{ or }4$, la quiero para identificar a estos grupos con los grupos que aparecen en la Pequeña Biblioteca del Grupo con el preciso número de IDENTIFICACIÓN.

Quiero saber cómo definir este grupo $F_n$ en la BRECHA, he intentado como seguidores pero no Definir $F_3$

Mis preguntas son

1. Cómo modificar los códigos en mi definición para obtener un correcto? Yo creo que el principal problema es $e_j^2=-1$.
2. Una vez que podemos definir a este grupo, ¿cómo podemos identificar el grupo con el grupo en Pequeños grupos de la Biblioteca?
3. Desde la BRECHA puede manejar el grupo cuyo orden es de menos de 2000. Para Clifford caso del grupo, esto significa que se puede trabajar a $n=8$ cuando el orden del grupo es $2^9=512$. El Pequeño Grupo de la Biblioteca no tiene grupo de orden $1024$, y el grupo de orden $2^{11}$ y más allá también no se controla. Cómo lidiar con los $n \geq 9$ situaciones?

Muchas gracias.

Answer 1

Si miramos la definición, tenga en cuenta que el uso de "-1" como un extra generador que es central y de orden 2. En la BRECHA no se puede llamar de esa manera, por lo que vamos a llamarlo m. Entonces podemos definir el grupo:

gap> f:=FreeGroup("e1","e2","e3","m");
<free group on the generators [ e1, e2, e3, m ]>
gap> AssignGeneratorVariables(f);
#I  Assigned the global variables [ e1, e2, e3, m ]
gap> rels:=[Comm(e1,m),Comm(e2,m),Comm(e3,m),e1^2/m,e2^2/m,e3^2/m,
> e1*e2/(m*e2*e1),e1*e3/(m*e3*e1),e2*e3/(m*e3*e2)];;
gap> g:=f/rels;
<fp group on the generators [ e1, e2, e3, m ]>
gap> Size(g);
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Usted puede utilizar IdGroup(g) para identificar el grupo en pequeños grupos de la biblioteca.

Su tercera pregunta, en realidad no tiene sentido, como números de identificación única definida en cuanto a la biblioteca de que se trate. La forma más sencilla de especificar el grupo de una manera portátil sería el uso de la presentación.