Tratemos de obtener un contraejemplo. Suponemos que $u$ es lo suficientemente suave.
Vamos a escribir el variacional definición del primer autovalor:
$$
\mu_1[u] = \inf_{\eta \en W_0^{1,2}(\Omega)}\frac{\int_\Omega |\nabla \eta|^2 \,dx \int_\Omega \nabla \cdot (u \eta) \, \eta \,dx}{\int_\Omega |\eta|^2 \,dx}, \quad \left( \eta \no\equiv 0 \right).
\tag 1
$$
Para la segunda integral en el numerador tenemos
$$
\int_\Omega \nabla \cdot (u \eta) \, \eta \,dx =
\int_\Omega (\nabla \eta \cdot u) \, \eta \,dx +
\int_\Omega \eta^2 (\nabla \cdot u) \,dx.
\tag 2
$$
Auxiliar, se nota que la integración por partes de la fórmula nos da
$$
\int_\Omega \eta_{x_i} u_i \, \eta \,dx =
-\int_\Omega \eta \, u_i \, \eta_{x_i} \,dx \int_\Omega \eta^2 (u_i)'_{x_i} \,dx,
$$
(aquí utilizamos el hecho de que $\eta = 0$$\partial \Omega$).
Por lo tanto,
$$
\int_\Omega \eta_{x_i} u_i \, \eta \,dx = -\frac{1}{2}\int_\Omega \eta^2 (u_i)'_{x_i} \,dx.
$$
El uso de esta igualdad, para la primera integral en el lado derecho de la $(2)$ que se derivan de
$$
\int_\Omega (\nabla \eta \cdot u) \, \eta \,dx = \sum_{i=1}^n \int_\Omega \eta_{x_i} u_{i} \, \eta \,dx = -\frac{1}{2} \int_\Omega \eta^2 \sum_{i=1}^n(u_i)'_{x_i} \,dx =
-\frac{1}{2} \int_\Omega \eta^2 (\nabla \cdot u) \,dx.
$$
Por lo tanto, para $(2)$ hemos
$$
\int_\Omega \nabla \cdot (u \eta) \, \eta \,dx = \frac{1}{2} \int_\Omega \eta^2 (\nabla \cdot u) \,dx \geq \frac{1}{2} \min_{\Omega} (\nabla \cdot u) \int_\Omega \eta^2 \,dx = C \int_\Omega \eta^2 \,dx.
\etiqueta 3
$$
Finalmente, para $(1)$ obtenemos
$$
\mu_1[u] \leq \inf_{\eta \en W_0^{1,2}(\Omega)} \left( \frac{\int_\Omega |\nabla \eta|^2 \,dx - C \int_\Omega \eta^2 \,dx}{\int_\Omega |\eta|^2 \,dx} \right) =
\inf_{\eta \en W_0^{1,2}(\Omega)} \left( \frac{\int_\Omega |\nabla \eta|^2 \,dx}{\int_\Omega |\eta|^2 \,dx} - C\right) = \lambda_1 - C \leq 0
$$
para cualquier $C \geq \lambda_1$ (es posible, debido al hecho de que no tenemos a priori supuestos en $\nabla \cdot u$). Aquí $\lambda_1$ es el estándar de primer autovalor de la Dirichlet Laplaciano en $\Omega$.
(Tenga en cuenta también que la primera desigualdad es verdadera, ya que es cierto para cualquier $\eta \in W_0^{1,2}(\Omega)$).
Mediante el inverso de la desigualdad de la $(3)$ obtenemos la condición para la estricta positividad de $\mu_1[u]$: $\max_{\Omega} (\nabla \cdot u) < 2 \lambda_1$. (en consecuencia, si $\nabla \cdot u \leq 0$, como usted escribió.)
P. S. en Realidad, no puedo averiguar ahora es el variacional caracterización correcta. Pero, en cualquier caso, si asumimos que la primera eigenfunction es "normal", entonces la construcción, sobre sostiene (sin tomar $\inf$).
