¿El grupo de elementos$t \in \mathbb{R}$ es tal que$A +t = A$ hasta la medida$0$ cerrado?

Question

Mi pregunta:

Si $A \subset \mathbb{R}$ es un subconjunto medible y $t_n \rightarrow t$ es una secuencia convergente tal que $A +t_n = A$ mod $\mu$, no $A+t=A$ mod $\mu$ ?

Aquí $A = B$ mod $\mu$ significa que $\mu(A \Delta B)=0$ donde $A \Delta B$ es la diferencia simétrica entre a$A$ e $B$ e $\mu$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

Answer 1

Deje $A'$ ser un cruce de $A+kt_n$ para todos los $k\in\mathbb Z,n\in\mathbb N$. Ya que todos los conjuntos son iguales a los conjuntos de medida cero, $A=A'\mod\mu$ y, además, $A'=A'+t_n$ por cada $n$. A menos $t_n$ finalmente es constante (en cuyo caso la declaración es trivial), esto implica que $A'$ es invariante bajo las traducciones por un subgrupo de $\mathbb R$ que es denso. Estándar ergodicity resultados implican que un conjunto de $A'$ invariantes bajo tales el conjunto de traducciones que tiene medida cero o su complemento tiene medida cero. De ello se desprende que $A'=A'+t\mod\mu$ cualquier $t\in\mathbb R$, en particular por $t=\lim_{n\to\infty}t_n$.