Si$x = 2$ es una raíz de$\det\left[\begin{smallmatrix}x&-6&-1\\2&-3x&x-3\\-3&2x&x+2\end{smallmatrix}\right]=0$, encuentra otras dos raíces

Question

<blockquote> <p>Si <span class="math-container">$x = 2$</span> es una raíz de la ecuación <span class="math-container">$$\begin{vmatrix} x & -6 & -1 \\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end{vmatrix} = 0 $</span> A continuación encuentra las otras dos raíces.</p> </blockquote> <p>Me lo solucionó y me una ecuación cúbica, y entonces dividido por <span class="math-container">$(x-2)$</span> para obtener las otras dos raíces. Pero es un método largo para hacerlo.</p> <p>Por favor ayudarme con algún enfoque más corta a esta pregunta.</p>

Answer 1

$$ \begin{align*} \begin{vmatrix} x & -6 & -1 \\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end {vmatrix} & = \begin{vmatrix} x-2 & 3x-6 & 2-x \\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end {vmatrix} \\ & = (x-2) \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end {vmatrix} \\ & = (x-2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3x-6 & x-1\\ -3 & 2x+9 & x-1 \end {vmatrix} \\ & = (x-2) (x-1) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3x-6 & 1\\ -3 & 2x+9 & 1 \end {vmatrix} \\ & = (x-2) (x-1) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & -5x-15 & 0\\ -3 & 2x+9 & 1 \end {vmatrix} \\ & = (x-2) (x-1) (- 5x-15) \\ & = -5 (x-2) (x-1) (x +3) \\ \ end {align *} $$

Por lo tanto, las otras raíces son $1$ y $-3$ .

Answer 2

$\begin{vmatrix} x & -6 & -1 \\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} x-2 & 3x-6 & 2-x\\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end{vmatrix} = 0$ $R_1 \rightarrow R_1-R_2$

$(x-2)\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & -3x & x-3\\ -3 & 2x & x+2 \end{vmatrix} = 0$ $\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 0 & -3x-6 & x-1\\ 0 & 2x+9 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$, $R_3 \rightarrow R_3+3R_1$

Ahora abra el determinante el uso de $C_1$ claramente,un factor es (x-1). Usted obtener-3x-6= 2x+9, x=-3.