¿Tiene

Question

Deje $f_n$ ser una secuencia de funciones medibles en $\mathbb{R}$ convergencia de una.e. a $f$. Si $0\leq f_n\leq f$ a.e. De lo anterior se sigue que $\displaystyle\int_\mathbb{R} f_n\ dm\to\displaystyle\int_\mathbb{R} f\ dm$?

Creo que esto es falso, pero no puedo pensar en ningún contraejemplo. También, si pongo otra condición que $f_n$ es una secuencia de funciones integrables, ¿esto implica que $f$ también sería integrable? Por lo tanto, la conclusión que se mantenga por el Teorema de Convergencia Dominada? Gracias por la respuesta.

Answer 1

Es verdad. Por un lado, como $0 \leq f_n \leq f$ para cualquier $n$ , uno tiene $$\limsup_{n \to \infty} \int f_n dm \leq \int f dm.$ $ Por otro lado, por el lema de Fatou, tenemos $$\int f dm \leq \liminf_{n \to \infty} \int f_n dm.$ $ Combinando estas dos desigualdades, concluimos $$\int f dm = \lim_{n \to \infty} \int f_n dm.$ $ Tenga en cuenta que aquí permitimos que ambos lados de la identidad sean infinitos.