Problema de sustitución trigonométrica con signo

Question

Cuando la solución de una integral como $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$, finalmente, acabar con

$$ \ln\lvert\sec\theta+\tan\theta\rvert+C.$$

El siguiente paso es volver a escribir esto en términos de $x$. Mi libro es el siguiente: $x=2\tan\theta$, por lo que mediante el dibujo de un triángulo, se puede ver que $x$ es el lado opuesto, $2$ el adyacente, y por último, $\sqrt{2^2+x^2}$ la hipotenusa. Por lo tanto, $$\sec\theta=\frac{\sqrt{2^2+x^2}}2.$$ The problem that I see however is that $\sqrt{2^2+x^2}$ es la magnitud de la hipotenusa, por lo que este ha perdido un posible signo negativo, ya que no es necesariamente cierto que

$$ \sec\theta = \frac{|r|}{2}.$$

Cómo puede ser omitido?

Answer 1

Al hacer la sustitución de $x=2\tan \theta$, usted tiene que tener cuidado para especificar el dominio de $\theta$: la sustitución sólo es válida si $\theta$ tiene un pequeño suficiente dominio para $\tan \theta$ a de ser continuo. El más simple posible elección del dominio es, probablemente, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. Tenga en cuenta que el rango de $2\tan \theta$ en este dominio es toda la recta real, por lo que tomar $\theta$ en este dominio no perder ninguna generalidad.

Pero cuando $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$, siempre tenemos $\sec \theta > 0$. Así que, de hecho, si usted hace la elección de este dominio, es siempre cierto que $2 \sec \theta=\sqrt{x^2+4}$, sin ningún signo de problemas.

Es útil pensar acerca de lo que sucede si usted elige un dominio diferente para $\theta$. Si $\sec \theta > 0$ en ese dominio, nada va a cambiar. Si $\sec \theta < 0$ en ese dominio, a continuación,

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}=\int \frac{\s^2 \theta \,d\theta}{-\sec \theta}=-\int \sec \theta \,d\theta $$

debido a $\sqrt{x^2+4}$ es todavía positivo. De modo que la integral en términos de $\theta$ evalúa a $-\ln|\sec \theta +\tan \theta|+C$. Entonces, cuando nos reescribir en términos de $x$, tenemos de nuevo $\sec \theta=-\sqrt{x^2+4}$, por lo que la integral en términos de $x$ es

$$-\ln\left|-\sqrt{x^2+4}+x\right|+C=-\ln\left(\sqrt{x^2+4}-x\right) +C\, ,$$

debido a $\sqrt{x^2+4} > x$ para todos los $x$.

Pero, a continuación,

\begin{align*} -\ln\left(\sqrt{x^2+4}-x\right)&=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}\right)\\ &=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{(\sqrt{x^2+4})^2-x^2}\right)&\text{(multiplying by the conjugate)}\\ &=\ln\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{4}\\ &=\ln(\sqrt{x^2+4}+x)-\ln 4 \, . \end{align*}

Así tenemos el casi el mismo resultado independientemente de dominio se elija, pero el término constante puede ser diferente.

Answer 2

Vamos a trabajar a través de él desde el principio $$x=2\tan\theta, dx=2\s^2\theta d\theta.\\ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}=\int\frac{2\s^2\theta d\theta}{\sqrt{4\tan^2\theta+4}}=\int\frac{2\s^2\theta d\theta}{|2\sec \theta|}=\int|\sec\theta|d\theta=\int\sec\theta d\theta\\ =\ln(\tan\theta+\sec\theta)+C.$$

Donde el módulo de la señal puede ser eliminado porque podemos suponer $\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ para obtener todos los valores de $x$.

De nuevo, cuando el uso de $2\sec\theta=\pm\sqrt{x^2+4}$, sabemos que $\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, por lo que el signo puede ser ignorado.

Si intenta utilizar otros rangos de $\theta$, el signo negativo(si alguno) en los pasos anteriores debe cancelar, y usted puede conseguir el mismo resultado.

Answer 3

¿Es esta quizás una solución posible?

PS