Módulo de dimensión proyectiva arbitraria.

Question

Dado cualquier número natural $n$, no hay un anillo de $A$ e una $A$-módulo de $M$ tal que la dimensión proyectiva de $M$ es $n$?

Yo soy creo que esta declaración debe ser cierto, pero no sé cómo encontrar ese $A$ e $M$ arbitrarias $n$. Yo no explícitamente la necesidad de $A$ e $M$ (podría ser muy difícil). Puede alguien decirme que si esta afirmación es verdadera o no?

Answer 1

Sí. Para un ejemplo sencillo, vamos a $k$ ser cualquier valor distinto de cero anillo, vamos a $A=k[x_1,\dots,x_n]$, y deje $M=A/(x_1,\dots,x_n)$. A continuación, $M$ tiene dimensión proyectiva $n$. Para verificar esto, usted puede escribir explícitamente hacia abajo una resolución libre de $M$ de la longitud de la $n$ (el complejo de Koszul de la secuencia de $(x_1,\dots,x_n)$) para acotar la dimensión proyectiva de arriba por $n$, y luego usar esa resolución para calcular ese $\operatorname{Ext}_A^n(M,M)$ es trivial para acotar la dimensión proyectiva de abajo por $n$.