Desde $\alpha=A|B$ es positivo Dedekind corte no es un miembro positivo $a\in A$. Además, ya $a\in A$ tenemos $a<b$ para todos los $b\in B$. Y, por tanto, $1/b<1/a$ para todos los $b\in B$.
El corte $\beta=C|D$ como se describe en la pregunta es tal que $C$ contiene $0$ y todos los negativos racionales y más positivos racionales de la forma $1/b$ donde $b\in B$ (e $b$ no es el menos de los miembros de $B$). Todos los números están a menos de $1/a$ como se mencionó en el párrafo anterior. Por lo tanto el conjunto de $C$ es no vacío y acotado arriba por lo que es un subconjunto de a$\mathbb{Q} $. Por definición, $D=\mathbb {Q} - C$ y ahora está claro que $D$ también es no vacío y subconjunto de $\mathbb {Q} $ e $C\cup D=\mathbb {Q}, C\cap D=\emptyset$. La primera condición para ser un Dedekind corte es satisfecho por $\beta$.
Para la segunda condición deje $x\in C, y\in D$. Desde $C, D$ son distintos, no podemos tener $x=y$. Tenga en cuenta que $y>0$ como todos los números negativos y $0$ mentira en $C$. Si $x>y$ entonces ambos $x, y$ son positivos y desde $x\in C$ tenemos $1/x\in B$ e $1/y>1/x$ implica que $1/y\in B$. Y, por tanto, $y\in C$ que es contrario a nuestra hipótesis. Por lo tanto, no podemos tener $x>y$ e este modo, estamos obligados a concluir que $x<y$. Así, la segunda condición para ser un Dedekind corte también es verificado por $\beta$.
La tercera condición es fácil. Si $C$ tiene un miembro más grande $c$ entonces $c>0$ e $1/c\in B$ e $1/c$ no es el menos de los miembros de $B$. Así que hay algo de positivo $b\in B$ con $b<1/c$. Ahora elija un $b'$ con $b<b'<1/c$ , de modo que $b'\in B$ y claramente $b'$ no es el menos de los miembros de $B$. Por lo tanto $1/b'\in C$. Pero $1/b'>c$ y esto contradice que $c$ es el miembro más grande de $C$. Por lo tanto, $C$ no tiene el miembro más grande. De ello se desprende que $\beta=C|D$ es un Dedekind corte.
He utilizado el símbolo de $\beta$ en lugar de $\alpha^{-1}$ porque todavía tenemos que demostrar que $\alpha\beta=\beta\alpha=1$.
No hay necesidad de lidiar con cosas como $\inf B$. La idea de un Dedekind corte requiere conocer las operaciones básicas sobre los racionales como $+, -, \times, /, <, >$ y nada más. Por lo tanto, es la ruta más fácil para una teoría de los números reales. Uno no debe tratar de pensar profundamente y a la vez lidiar con un Dedekind corte.
Es bastante irónico que una idea tan simple tomó un largo tiempo para venir y es aún más irónico que es enseñado en los cursos de pregrado. Cualquier persona que sepa sumar/restar/multiplicar/dividir/comparar racionales y tiene un poco de conocimiento básico de la teoría de conjuntos puede entender estas ideas.
