hallazgo

Question

Deje $I_n = \int_{1}^{n} \frac{\arctan \frac{x}{\sqrt n}}{x^{2}+n}\,dx$ , para $n \geq 1$ . ¿Cómo puedo mostrar que $\lim_{n \to \infty} \sqrt nI_n=\frac{\pi}{8}$ ?

Intenté primero resolver la integral pero estoy realmente atascado, no pude encontrar una idea para empezar, ¡cualquier ayuda o sugerencia sería realmente apreciada!

Answer 1

$$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n}}\int_1^n\frac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)}{x^2+n}\,\mathrm{d}x &=\lim_{n\to\infty}\int_{1/\sqrt{n}}^{\sqrt{n}}\frac{\arctan(x)}{x^2+1}\,\mathrm{d}x\tag1\\ &=\int_0^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2+1}\,\mathrm{d}x\tag2\\ &=\int_0^{\pi/2}u\,\mathrm{d}u\tag3\\[3pt] &=\frac{\pi^2}8\tag4 \end {align} $$ $(1)$ : sustituya $x\mapsto x\sqrt{n}$
$(2)$ : aplica el límite
$(3)$ : sustituye $x=\tan(u)$
$(4)$ : evaluar

Answer 2

Sea $x=\sqrt ny.$ la expresión se convierte en

PS

Ver el término a la derecha $$\int_{1/\sqrt n}^{\sqrt n} \frac{\arctan y}{y^2+1}\,dy = \frac{(\arctan y)^2}{2}\big|_{1/\sqrt n}^{\sqrt n}.$ es un ejercicio simple.

Answer 3

Deje $\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt n} = t$

$\frac{dx}{ 1+ \frac{x}{\sqrt n^2}} \frac{1}{\sqrt n} = dt$

$\frac{dx}{x^2 + n} = \frac{1}{\sqrt n}dt$

Así, $I_n = \int^n_{x=1} \ \frac{1}{\sqrt n} tdt = \frac{1}{\sqrt n}\big[\frac{t^2}{2}\big]^n_{x=1}$

$I_n = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt n}\big[\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt n}))^2\big]^n_{x=1}$

$I_n = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt n}\big[\tan^{-1}\sqrt n)^2 - (\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt n})^2 \big]$

Para $x>0$, $\tan^{-1}\frac{1}{x} = \cot^{-1}(x)$

$I_n = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt n}\big[(\tan^{-1}\sqrt n)^2 - (cot^{-1}\sqrt n)^2 \big]$

$I_n = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt n}\big[(\tan^{-1}\sqrt n)^2 - (\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\sqrt n)^2 \big]$

$I_n = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt n}\big[ - \frac{\pi^2}{4}+2\frac{\pi}{2}\tan^{-1}\sqrt n \big]$

$\sqrt n I_n = \frac{1}{2}\big[ - \frac{\pi^2}{4}+\pi \tan^{-1}\sqrt n \big]$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt n I_n = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}\big[ - \frac{\pi^2}{4}+\pi \tan^{-1}\sqrt n \big]$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt n I_n = \frac{1}{2}\big[ - \frac{\pi^2}{4}+\pi .\frac{\pi}{2} \big] = \frac{1}{2}[\frac{\pi^2}{4}] = \frac{\pi^2}{8}$

Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty}\sqrt n I_n = \frac{\pi^2}{8}$$