Encuentre el normalizador de un subgrupo cíclico de$S_7$

Question

Deje $P\subset S_7$ ser un subgrupo cíclico de orden $7$. Muestran que el normalizador $N$ de $P$ tiene orden de $42$, y encontrar un par de ciclos de generación de $N$.

Mi intento

En primer lugar observamos que el subgrupo cíclico es un Sylow-7 subgrupo de $S_7$. Deje que el número de Sylow-7 subgrupos en $S_7$ denotarse $n_7$.

El Sylow-7 subgrupos de intersección trivialmente y todos son cíclicos, por lo que cada nonidentity elemento en un Sylow-7 subgrupo es de orden $7$ y el número de elementos en $S_7$ con el fin de $7$ es igual a $n_7$ veces $6$.

Los elementos de orden $7$ en $S_7$ son los 7 ciclos. Y hay $7!/7$ de ellos.

Por lo tanto, $n_7 = 5!$.

Ahora, para demostrar que $|N|=42$, uso de la identidad: $n_7 = |S_7 : N| = |S_7|/|N|$.

Mi pregunta

En primer lugar, no veo por qué $N$ es generado por un par de ciclos.

También, estoy teniendo problemas para escribir de manera explícita los generadores de $N$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia: Como te has dado cuenta, los elementos de orden $7$ son $7$-ciclos. WLOG, vamos a $P$ ser el grupo generado por $(1\ 2\ 3 \ 4 \ 5 \ 6\ 7) = \sigma$. Entonces claramente $P$ normaliza sí mismo.

Si utilizamos el hecho de que en cualquier grupo de $G$, para dos subconjuntos $H,K$ en $G$, tenemos $$|HK| = \frac{|H| |K|}{|H \cap K|} $$ we can form a set of order $42$ if we let $H = P$ and $K$ be a group generated by a $6$-cycle. If this $6$-cycle happens to normalize $P$, we've formed a set of order $42$ where each element normalizes $P$ so this set must be $N_G(P)$. So you just need to find a $6$ cycle that normalizes $P$

Voy a tirar en el hecho adicional de que para cualquier $k$-ciclo $(a_1\ a_2\ ... a_k) = x$ y permutación $\tau$, $\tau x \tau^{-1} = (\tau (a_1)\ \tau( a_2) \ ... \tau( a_k))$